§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Теорема 1. Радиусы сходимости степенного ряда

и ряда, полученного из него формальным дифференцированием,

совпадают.

Доказательство. Пусть есть радиус сходимости ряда (1), а радиус сходимости ряда (2). Тогда (см. § 3.7, теорема 6)

Теорема 2. Степенной ряд

законно формально дифференцировать в пределах его (открытого) круга сходимости т. е. верна формула

Доказательство. Эту теорему мы докажем только в предположении, что есть действительная переменная; это даст нам возможность свести вопрос к хорошо известному факту из теории действительных рядов. Итак, степенной ряд (3) для действительной переменной имеет вид

Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости Соответствующий формально продифференцированный ряд имеет

Его сумму мы пока обозначили через Он сходится на интервале на основании предыдущей теоремы.

Оба ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке где При этом члены второго ряда непрерывны и являются производными от соответствующих членов первого. Но тогда на основании известной теоремы из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 11.8, теорема 3) выполняется равенство

на отрезке следовательно, и на интервале потому что произвольно.

Отметим, что в силу теоремы 1 ряд (1) законно почленно дифференцировать сколько угодно раз. На этапе мы получим равенство

справедливое для всех Если положить в нем то получим или

Отсюда, в частности, следует, что разложение функции в степенной ряд (см. (1)) в некотором круге (или в интервале если речь идет о функции действительного переменного единственно.

Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов по всей его полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла от функции комплексной переменной. Мы ограничимся здесь рассмотрением этого вопроса только для степенных рядов

от действительной переменной

Если по-прежнему то для всех принадлежащих интервалу называемому интервалом сходимости степенного ряда (8), этот ряд сходится и притом абсолютно. Для всех же (при конечном общий член ряда не ограничен, и ряд расходится. Конечно, если то ряд (8) имеет единственную точку сходимости

Итак, пусть задан степенной ряд (8), сходящийся на интервале , где Числа могут быть действительными и комплексными. Зададим фиксированную точку и переменную точку и подберем так, чтобы Степенной ряд (8) равномерно сходится на отрезке находящемся строго внутри интервала сходимости ряда. Но тогда его

можно почленно интегрировать (§ 11.8, теорема 2) на отрезке, соединяющем :

В частности, при получим

Пример 1.

Для эти равенства получаются соответственно почленным интегрированием на отрезке, соединяющем и известных равенств

Ряд (11) при сходится по признаку Лейбница. Само же равенство (11) справедливо на основании доказываемой ниже второй теоремы Абеля.

Ряд (13) при не может сходиться, иначе его сумма по второй теореме Абеля была бы непрерывной функцией на Все же ряд (12) при сходится, потому что в этом случае абсолютная величина его общего члена равна (пояснения ниже)

Мы пользуемся обозначениями, которые уже употреблялись в § 9.17. В четвертом соотношении применена формула Стирлинга (§ 9.17, (3)). Ряд, общий член которого равен правой части нашей цепи, сходится, но тогда сходится и ряд (см. §11.3,(1)).

В силу второй теоремы Абеля сходимость ряда (12) при влечет непрерывность на его суммы Но имеет место равенство на непрерывна на поэтому равенство верно и на

Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд

имеет радиус сходимости и сходится при то функция непрерывна не только на интервале но и на полуинтервале

В самом деле, общий член ряда (14) можно записать в виде

где (постоянные) числа можно рассматривать как члены сходящегося ряда, а функции образуют невозрастающую на ограниченную последовательность Поэтому согласно признаку Абеля (см. § 11.7, теорема 4) ряд (14) непрерывных на отрезке функций сходится на нем равномерно и, следовательно, его сумма есть непрерывная функция на