§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода

Пусть в пространстве где определена прямоугольная система координат задана ориентированная непрерывная кусочно гладкая кривая с начальной точкой и конечной Если кривая замкнута, то совпадает с Пусть

— уравнения где длина дуги (см. § 10.3). При этом значению соответствует точка , а значению точка и возрастанию соответствует ориентация

В каждой внутренней (не угловой) точке А любого гладкого куска тогда однозначно определен единичный вектор касательный к (в направлении возрастания

Пусть, кроме того, на или на некотором открытом множестве содержащем задано поле непрерывного вектора (или задан вектор)

где непрерывные функции на (или ).

По определению криволинейным интегралом от вектора вдоль ориентированной кривой называется величина

Первый и второй члены в (2) — это обозначения криволинейного интеграла от по , а третий и четвертый являются его определением и указывают, как его вычислить. Функция вообще говоря, кусочно непрерывна с разрывами первого рода в угловых точках Третий член есть интеграл первого рода от нее по Мы считаем где есть вектор, имеющий длину и направление Это объясняет обозначение криволинейного интеграла, выражаемое первым членом в (2).

Если та же кривая, но с противоположной ориентацией, то единичный вектор ее касательной равен поэтому

Так как то криволинейный интеграл (2) может быть записан в виде

где правая часть представляет собой обычный определенный интеграл.

Ориентированную гладкую кривую можно задать при помощи некоторого параметра посредством уравнений

где функция, имеющая на непрерывную производную Тогда интеграл (2) будет вычисляться по формуле

Мы произвели замену переменной на в определенном интеграле, стоящем справа в (3). В силу этой замены, например,

Второе выражение в (2) считается удобным обозначением криволинейного интеграла от по ориентированной кривой Его еще называют криволинейным интегралом второго рода. Оно не только обозначает этот интеграл, но и указывает, что надо сделать, чтобы его вычислить. Нужно кривую записать в виде уравнений (4) с параметром возрастающим соответственно ориентации положить в указанном выражении и вычислить определенный интеграл от полученной функции от по отрезку

Ориентированную кривую можно рассматривать как сумму двух ориентированных кривых соответствующих изменению параметра на отрезках Тогда, очевидно,

Если ориентированный контур замкнут, то взятый вдоль него криволинейный интеграл от называют еще циркуляцией вектора по

Бывает так, что имеется несколько ориентированных кривых вовсе не связанных друг с другом, и удобно обозначить через их объединение — тоже ориентированную кривую. Тогда по определению считают, что криволинейный интеграл от по С равен сумме криволинейных интегралов от а по

Формула (5) верна не только для гладкой, но и для кусочно гладкой непрерывной кривой (4). Ведь тогда есть конечная сумма гладких ориентированных кусков соответствующих отрезкам или изменения дуги или параметра Поэтому

где под интегралом справа подразумевается такое же выражение, как под интегралом справа в (5).

Наконец, заметим, что если есть поле некоторой силы, то интеграл (криволинейный) от по есть, очевидно, работа вдоль ориентированного пути