§ 3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел Из нее можно выделить бесконечным числом способов новую последовательность

где индекс пробегает возрастающую последовательность (бесконечную) натуральных чисел Последовательность называется подпоследовательностью последовательности

Нас здесь будут интересовать только подпоследовательности, которые сходятся либо к конечному числу, либо к либо (т.е. имеют предел конечный, или ). Их мы будем называть сходящимися, а их пределы — числами (конечными или бесконечными), распространяя, таким образом, название "число" и на символы — Мы считаем, что где а — любое действительное (конечное)

число. В силу этого соглашения есть наибольшее число, а наименьшее. Для расширенного таким образом множества чисел, очевидно, выполняются аксиомы числа группы I (см. § 2.4).

Предупредим читателя, что в наших рассуждениях весьма существенно, что элементы (не числа ) последовательности считаются различными, если они соответствуют различным индексам Надо различать числа (точки), которые пробегаются последовательностью, от ее элементов.

Например, последовательность

(как и всякая последовательность) состоит из бесконечного числа элементов но она пробегает весьма бедное множество чисел состоящее только из трех чисел (точек).

Легко видеть, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же числу (конечному, Но из того, что последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, не следует, что сама она сходится. Но справедлива теорема, имеющая большое применение. Ее часто называют теоремой Больцано-Вейерштрасса.

Теорема 1. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторому числу (конечному).

Доказательство. Пусть значения нашей последовательности принадлежат отрезку Разделим его на две замкнутые половинки и обозначим через правую из них, содержащую в себе бесконечное число элементов т.е. если обе указанные половинки содержат в себе бесконечное число элементов, то есть правая из них, а если только одна из них содержит бесконечное число элементов то именно она и обозначается через

Пусть один из элементов отрезка Обозначим далее через самую правую половину отрезка содержащую в себе бесконечное число элементов Очевидно, что среди последних найдется элемент Вообще, если отрезки и принадлежащие соответственно им элементы уже определены, то обозначим через самую правую половину отрезка содержащую в себе бесконечное множество элементов Очевидно, что среди последних найдется элемент Обозначим через а точку, принадлежащую всем Очевидно, определенная нами подпоследовательность стремится к а. Теорема доказана.

Теорема 2. Из любой последовательности действительных чисел (ограниченной или неограниченной) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу, или

В самом деле, это утверждение для ограниченной последовательности уже доказано в теореме 1, и тогда соответствующая подпоследовательность сходится к конечному числу. Если же последовательность не ограничена сверху (снизу), то для любого натурального к найдется, очевидно, натуральное такое, что и подпоследовательность стремится к

Докажем часто употребляемую в анализе теорему.

Теорема 3. Если последовательность такова, что ее любая подпоследовательность содержит в свою очередь подпоследовательность., сходящуюся к одному и тому же числу А (конечному, или ), то существует предел

В самом деле, если бы последовательность не стремилась к А, то существовала бы окрестность А, вне которой имелось бы бесконечное число элементов Перенумеровав эти элементы в порядке возрастания получаем некоторую подпоследовательность Из последней на основании предыдущей теоремы можно выделить ее подпоследовательность стремящуюся к некоторому числу В (конечному, или ), очевидно, заведомо не равному А. Это противоречит условию теоремы, потому что из сходящейся к В подпоследовательности нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к А.

3.7.1. Введем теперь определение: число а (конечное, или ) называется верхним (нижним) пределом последовательности действительных чисел (или переменной ), если существует подпоследовательность сходящаяся к нему, и при этом всякая другая сходящаяся подпоследовательность последовательности сходится к числу, не большему (не меньшему) а.

Например, последовательность (1), очевидно, имеет верхний предел, равный , и нижний предел, равный 1, а последовательность имеет верхний предел и нижний, равный

Верхний и нижний пределы последовательности обозначаются соответственно через или еще так:

Отметим, что метод вложенных друг в друга отрезков, который мы применили при доказательстве теоремы 1, привел нас к подпоследовательности сходящейся к числу , которое равно верхнему пределу последовательности

В самом деле, пусть Подберем настолько большим, что а оказывается правее Но правее может быть только конечное число элементов следовательно, не существует подпоследовательности которая бы сходилась к числу .

Таким образом, указанный процесс доказывает существование верхнего предела у ограниченной последовательности.

Если бы мы процесс, изложенный при доказательстве теоремы 1, видоизменили, обозначая через для каждого не самую правую, а самую левую половину содержащую бесконечное число элементов то в результате получили бы число а (точку), равное нижнему пределу последовательности

Покажем, что верхний (нижний) предел ограниченной последовательности обладает следующим свойством: для любого интервал содержит в себе бесконечное число элементов при этом справа (слева) от этого интервала имеется не более чем конечное число элементов

В самом деле, можно указать такое что Нов имеется бесконечное число элементов тем более в ; правее (левее) же имеется не более чем конечное число элементов тем более правее (левее) интервала

Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то, очевидно, можно из нее выделить подпоследовательность, сходящуюся к и так как больше (меньше) любого числа, то

Теорема 4. Для того чтобы существовал предел

(где а — конечное число, или необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна. Докажем достаточность.

Пусть верно — конечное число. Тогда неравенство

где произвольное число, верно для всех кроме, быть может, конечного их числа. Но тогда верно (2).

Пусть теперь, например, в частности,

Это показывает, что при любом неравенство не выполняется разве что для конечного числа значений Но тогда

т.е. верно (2).

Пример 1. Последовательность в случае, если где рационально носит периодический характер:

Пределы различных сходящихся ее подпоследовательностей могут быть равны только одному из первых чисел (4). Наибольшее из них, очевидно, есть , а наименьшее есть .

Пусть теперь иррационально. Будем отмечать числа на единичной окружности , как это принято в тригонометрии. Тогда, каковы бы ни были различные натуральные числа и , точки и геометрически различны, так как в противном случае имело бы место равенство

где к целое, т.е. было бы рациональным. Следовательно, точки образуют бесконечное множество, которое мы обозначим через . Но тогда для любого найдется пара точек геометрически отстоящих друг от друга (вдоль 7) на расстоянии, меньшем Это значит, что

где , а k целое.

Точки принадлежат, очевидно, Кроме того, любые рядом стоящие точки этой последовательности находятся на равном расстоянии, меньшем Отсюда следует, что, какова бы ни была точка на существует на расстоянии (вдоль ), меньшем точка множества Это показывает, что любая точка есть предельная точка множества

Из сказанного следует, что, каково бы ни было всегда можно подобрать последовательность натуральных чисел такую, что

Но пробегает все значения отрезка отсюда следует, что

Упражнение. Доказать, что для любой переменной

Указание. Для неограниченной сверху (снизу) переменной

и тогда надо считать, что