§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Пусть задан интеграл

имеющий единственную особенность в точке и на промежутке интегрирования Тогда, очевидно, функция

от монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена, существует интеграл (1):

Если же неограничена, то интеграл (1) расходится:

Если на то пишут

в зависимости от того, будет ли интеграл сходиться или расходиться. Теорема 1. Пусть интегралы

имеют единственную особенность в точке и на промежутке выполняются неравенства

Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1) и имеет место неравенство

а из расходимости интеграла (1) следует расходимость интеграла (2).

Доказательство. Из (3) следует, что для а

Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограничена числом, равным интегралу (2), но тогда ограничена и левая. И так как левая часть при возрастании монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интегралу):

Обратно, из расходимости интеграла (1) следует, что предел левой части (4) при равен а следовательно, и предел правой равен

Теорема 2. Пусть интегралы (1) и (2) имеют единственную особенность в точке подынтегральные функции положительны и существует предел

Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Из (5) следует, что для положительного можно указать такое с что

и так как

Из сходимости интеграла следует сходимость интеграла и сходимость интеграла Но тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл а вместе с ним интеграл

Наоборот, из сходимости следует сходимость потому, что наряду с (5) имеет место равенство

Пример 1. Значок между двумя интегралами означает, что эти интегралы в силу теоремы 2 одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Интегралы 1), 2) имеют единственную особенность в точке (это отмечено выше символом . В знаменателях под этими интегралами мы выделили главные степенные члены (см. § 4.10 и 5.11) и применили теорему 2. Интеграл 1) сходится, а интеграл 2) расходится.

Функция в скобках непрерывна на и стремится к нулю при поэтому она ограничена на некоторой константой К. Таким образом, этот интеграл, имеющий единственную особенность в сходится.