Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА

§ 9.1. Вступление

Понятие определенного интеграла было введено в § 1.7. Читателю, возможно, следует возобновить в памяти то, что говорилось там. Эта глава начинается с формального определения определенного интеграла по Риману, изучаются его свойства и выясняются условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы она была интегрируемой; даются также дальнейшие приложения определенного интеграла, излагается теория несобственных интегралов. Уже сейчас подчеркнем, что определенный интеграл в узком (собственном) смысле, требующий для своего определения одного предельного перехода, имеет смысл, как будет видно ниже, только для конечного отрезка и притом для ограниченных функций, непрерывных и некоторых разрывных. Для неограниченных функций риманов интеграл заведомо не существует. Однако можно ввести понятие несобственного интеграла по Риману, требующее для своего определения двойного предельнего перехода. С его помощью корректно определяется площадь фигуры с границей, не слишком быстро растущей в бесконечность.

Другой несобственный интеграл определяется для функций, заданных на всей действительной оси. С его помощью можно вычислить работу силы, действующей на неограниченном интервале.

Зададим на конечном отрезке функцию Отрезок разобьем на частей точками

и будем говорить, что произведено разбиение (отрезка На каждом частичном отрезке разбиения выберем по произвольной точке и составим сумму

Ее называют интегральной суммой (Римана) функции на отрезке соответствующей разбиению Интегральная сумма определена неоднозначно, потому что зависит от выбора

Определенным интегралом (Римана) от на называется предел

понимаемый в том смысле, что есть такое число, что для всякого можно указать такое что для всех разбиений которых имеет место независимо от выбора точек

Другое эквивалентное определение предела (1) следующее: какова бы ни была последовательность разбиений такая, что при любом выборе для каждого к произвольных, но определенных точек соответствующая интегральная сумма имеет предел

(не зависящий от выбора указанных и

Эквивалентность этих двух пониманий предела (1) доказывается аналогично тому, как устанавливается эквивалентность пониманий предела функции на языке и на языке последовательностей.

Факт существования интеграла можно еще выразить на языке критерия Коши: для любого найдется такое, что для разбиений с частичными отрезками длины, не большей имеет место