§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка

Рассмотрим функцию

заданную на некотором открытом множестве Ее можно бесконечным числом способов записать в виде

где

Ниже мы будем употреблять следующую терминологию: переменная есть функция от независимой векторной переменной эта же переменная есть функция от зависимой векторной переменной и. Последняя зависит от независимой переменной каждому вектору х из соответствует вектор

Таким образом, роль векторной переменной х здесь носит исключительный характер — она в проводимых ниже рассуждениях будет фигурировать только как независимая переменная.

Пусть функция имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке Тогда, как мы знаем из § 7.5, она дифференцируема, т. е. приращение ее в этой точке может быть записано в виде

Сумма

называется главной линейной частью приращения в точке х или еще дифференциалом в этой точке, соответствующим приращениям независимых переменных. Для независимых полагают

и называют эти величины не только приращениями независимых переменных но и их дифференциалами. Мы будем их называть независимыми дифференциалами в знак того, что они не зависят от Формально "независимость" величин будет проявляться в том, что при дифференцировании (по ) они будут рассматриваться как постоянные

В силу соглашения (6) дифференциал может быть записан в форме

Ясно, что есть величина, зависящая, вообще говоря, от

Для любых двух функций, имеющих непрерывные частные производные в точке х, справедливы свойства

и при этом частные производные от функций, стоящих в скобках, непрерывны в точке х.

Докажем, например, третье из этих равенств:

Непрерывность видна из третьего члена цепи.

Дифференциал от функции называют еще дифференциалом первого порядка, потому что приходится еще рассматривать дифференциалы высших порядков.

Пусть теперь функция имеет вторые непрерывные частные производные. По определению второй дифференциал от нее, соответствующий независимым приращениям (дифференциалам) определяется равенством

где считается, что обе операции в правой части (11) берутся для указанных независимых приращений которые должны рассматриваться как постоянные (не зависящие от ). Таким образом,

Так как второй дифференциал представляет собой квадратическую форму относительно независимых дифференциалов

Вообще, дифференциал порядка I от для независимых дифференциалов определяется по индукции при помощи рекуррентного соотношения

где берутся для указанных независимых дифференциалов которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные (не зависящие от

Рассуждая, как в (12), легко получим, что

Подобным образом вычисляются дифференциалы любых порядков.

Мы определили понятие дифференциала функции в терминах независимых переменных (или независимой векторной переменной х). Но пусть, как это было объяснено в начале этого параграфа, рассматривается теперь как функция от зависимой векторной переменной Возникает вопрос, как выражаются дифференциалы первого и высших порядков в терминах этой переменной u? Начнем изучение этого вопроса в случае дифференциала первого порядка.

Будем предполагать, что функции , о которых шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные частные производные. Тогда

и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от выражается через зависимые переменные так же, как через независимые. В этом проявляется инвариантность формы первого дифференциала.

Чтобы исследовать поставленный вопрос, в случае второго дифференциала будем предполагать, что функции имеют непрерывные частные производные второго порядка.

Дифференцируя обе части (14), приняв во внимание свойства (8) и (9), получим (пояснения ниже)

Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойствами (8) и (9) и, кроме того, тем фактом, что форма первого дифференциала сохраняется и для зависимых переменных и

Мы видим, что второй дифференциал от функции выраженный в терминах зависимых переменных существенно распадается на два слагаемых. Первое слагаемое представляет собой квадратическую форму, аналогичную форме (12), где выражалось через независимые

переменные. Второе же слагаемое представляет собой некоторый добавок, с которым надо считаться: если то этот добавок, вообще говоря, не равен нулю. Впрочем, если линейные функции от то свойство инвариантности сохраняется и для дифференциалов высшего порядка.

Выраженные через зависимые переменные дифференциалы вычисляются подобным образом последовательно. Приходится считаться с тем фактом, что выражения для них становятся все более громоздкими.