§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье

Заданная на действительной оси действительная или комплексная функция называется локально интегрируемой, если каков бы ни был конечный отрезок

Если то но, вообще говоря, не наоборот. Например, непрерывная на действительной оси функция локально интегрируема, но не обязательно принадлежт

Если локально интегрируема, то для нее для любого действительного х и любого имеют смысл интегралы

Пределы

если они существуют, мы будем называть преобразованиями Фурье функции соответственно прямым и обратным. Мы их будем записывать в виде

но помнить, что интегралы (3) надо понимать вообще в смысле главного значения

Для функций их преобразования Фурье имеют смысл, и интегралы (3) суть обычные абсолютно сходящиеся несобственные интегралы и их можно понимать как где независимы между собой.

В силу § 16.2, (7), (8) для функции справедливы равенства

Они во всяком случае верны для Причем внутренний интеграл (по t) абсолютно сходится, а внешний (по s) сходится, но, может быть, не абсолютно.

Кратный интеграл в (4) называется повторным интегралом Фурье функции Таким образом, повторный интеграл Фурье функции равен функции

Третий член (4) указывает, что можно рассматривать как результат двух операций — преобразования Фурье и затем обратного преобразования Фурье,

Верно также равенство при тех же условиях на потому что

(замена в интеграле на

Равенства

на самом деле верны при более общих условиях, налагаемых на в особенности если соответствующим образом обобщить операции и преобразований Фурье (см. далее). Из (4) следует равенство

для Если при этом четная, то

если же нечетная, то

В формулах (6) и (7) можно считать, что есть произвольная функция, принадлежащая Ведь в этих формулах используются только значения на полуоси Поясним это замечание подробнее.

Пусть задана функция такая, что Продолжив ее на всю действительную ось четным образом, получим четную

функцию для которой верна формула (6); в частности, она верна для

Будем теперь считать, что для нашей функции выполняется равенство (вообще Продолжив нечетным образом на получим функцию для которой верна формула (7); в частности, она верна для Подчеркнем, что в формуле в то время как в формуле (6) значение может быть любым. Интегралы

называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Из формул (6) и (7) непосредственно следует, что если к локально кусочно гладкой функции применить последовательно два раза косинус- (или синус-) преобразование Фурье, то получим исходную функцию . В этом смысле косинус- (синус-) преобразование Фурье является обратным самому себе.

Упражнения.

(см. скан)

Пример 1. Справедливы равенства (пояснения ниже):

(см. скан)

При пользовании обычными методами теории неопределенных интегралов не видно, как можно вычислить интегралы, стоящие в правых частях равенств 1)-3). С другой стороны, функции 1)-3) кусочно гладкие и принадлежат Поэтому к ним применима формула Эта фомула упрощается и имеет вид (6), если четная функция, а если нечетная, то она имеет вид (7); например, функция 1) четная, и потому

где надо считать, что в точках разрыва выполняется равенство Интегралы 4), 5) вычисляются интегрированием по частям.

Умножив 4) на и проинтегрировав по х на получим

где последнее равенство имеет место в силу формулы (6), применимой потому, что — гладкая функция.

Подобными рассуждениями получается формула 7) из 5), если применить формулу (7).

Функция 8) нечетная кусочно гладкая. Чтобы получить нужный интеграл, представляем ее по формуле (7), где внутренний интеграл равен

Этот интеграл удобно вычислить интегрированием по частям два раза. Представление функции 9) получается аналогично применением формулы (6). Функция 10) четная. Чтобы получить нужный интеграл, представляем ее по формуле (6), где внутренний интеграл равен

Это получается интегрированием по частям два раза.

Аналогичные рассуждения проходят для функции 11), если воспользоваться формулой (7).

Функция 12) четная, и для нее верна формула (6):

Но (см. § 13.15, пример 3)

откуда следует представление 12).

Представление 13) получается аналогично по формуле (7).