§ 10.2. Объем тела вращения

Пусть есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат непрерывной положительной функцией Вычислим объем V тела вращения, ограниченного плоскостями и поверхностью вращения кривой вокруг оси х.

Производим разбиение отрезка на части и считаем, что элемент объема тела, ограниченный плоскостями приближенно равен объему цилиндра высоты и радиуса

Величина приближенно выражает и

Мы получили формулу объема тела вращения. Приведем еще другой вывод этой формулы, основанный на введении дифференциала объема. Обозначим через объем части тела, заключенный между плоскостями, проходящими через точки оси перпендикулярно к последней (рис. 10.3). Приращение соответствующее приращению есть объем части тела, заключенной между плоскостями, перпендикулярными к оси проходящими через точки

Рис. 10.3

Докажем, что имеет место равенство

В самом деле, пусть

Тогда, очевидно,

и так как функция непрерывна, то Это показывает, что

Из (3) и (4) следует (2).

Равенство (2) говорит, что первое слагаемое его правой части есть дифференциал V:

На основании формулы Ньютона-Лейбница искомый объем равен

Пример 1. Эллипсоид вращения (вокруг оси х)

есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой

вокруг оси поэтому на основании формулы (1) его объем равен