§ 16.7. Пространство S обобщенных функций

Если каждой функции в силу некоторого закона приведено в соответствие число зависящее от линейно и непрерывно (в смысле ), то говоррят, что этим определен линейный функционал или обобщенная функция над

Таким образом, функционал обладает следующими двумя свойствами:

1) F - линейный функционал, т. е. для любой пары комплексных чисел и пары функций

2) F - непрерывный функционал:

Совокупность всех указанных функционалов (обобщенных функций) принято обозначать через

Обычно не представляет труда установить, что конкретный функционал над является линейным. Что же касается непрерывности, то здесь очень важным является следующий достаточный критерий

Пусть найдутся константа С и конечная система пар такие, что выполняется неравенство

для всех функций Тогда функционал непрерывен, потому что из того, что следует

Рассмотрим пример. Пусть есть локально интегрируемая, определенная на действительной оси комплекснозначная функция такая, что для нее можно указать число , для которого , где С не зависит от х. Интеграл

есть функционал (обобщенная функция) . В самом деле, ведь

откуда видно, что функционал (2) определен для всех и непрерывен. Линейность его очевидна.

Равенство (2) определяет функционал также в случае, когда функция принадлежит (или ). Если то непрерывность следует из неравенств

а если то из неравенств

Важно отметить, что для того, чтобы две локально интегрируемые (в римановом смысле) функции представляли при помощи равенств вида (2) равные обобщенные функции необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство во всех точках непрерывности

Достаточность условия очевидна. Оно также необходимо. Доказательство такое же, как в примере 1 § 16.5. Более общее утверждение гласит: две локально интегрируемые в лебеговом смысле функции если представляют, то один и тот же линейный функционал тогда и только тогда, когда на любом конечном отрезке они равны между собой, за исключением множества лебеговой меры нуль.

Обобщенную функцию, представляемую при помощи интеграла (2) обычной локально интегрируемой функцией отождествляют с этой последней. Например, это обычные функции, но и обобщенные, принадлежащие

С другой стороны, функция не принадлежит (не представляет при помощи интеграла (2) линейный функционал на 5), потому что для нее, например, не существует интеграл (2) при Пример 1. Функционал

называется -функцией (дельта-функцией). Очевидно, ведь

Не существует локально интегрируемой функции, которая представляла бы -функцию. В этом смысле есть подлинная (не обычная) обобщенная функция.

Доказательство такое же, как в примере 2 § 16.5. Можно доказать более общее утверждение: функционал (3) не представляется в виде интеграла (2), где какая-либо локально интегрируемая в лебеговом смысле функция.

Однако функционал можно записать в виде интеграла Стилтьеса

где

— функция, которую еще называют функцией Хевисайда.

По определению

где отрезок разделен на части точками Очевидно, если нулевая точка принадлежит отрезку и не является его правым концом, то

Если же точка есть правый конец то наша сумма равняется

что дает тот же результат.

Пример 2. Обобщенная функция определяется как предел

т.е. интеграл справа в (4) понимается в смысле главного значения (V.P. - vales principal - главное значение). В обычном римановом (в лебеговом) смысле этот интеграл в случае, если не существует. С другой стороны, предел (4) можно записать в виде обычного риманова (несобственного) интеграла

Ясно, что этот функционал линейный. Непрерывность же его вытекает из неравенства

Введем ряд важных операций над обобщенными функциями.

Если есть бесконечно дифференцируемая функция полиномиального роста, то произведение ее на обобщенную функцию записывается в виде и определяется при помощи равенства

Это определение корректно, ведь есть операция, непрерывная относительно есть функционал, непрерывный относительно следовательно, и относительно Линейность по очевидна.

Это определение также естественно, потому что если функционал представляется локально интегрируемой функцией то функция тоже, очевидно, представляет функционал и

Производная от обобщенной функции по определению есть обобщенная функция определяемая равенством

Так как и есть непрерывная относительно операция и так как есть непрерывный функционал относительно то есть непрерывный функционал относительно Линейность его очевидна.

Определение (7) естественно, потому что если, например, функция непрерывна вместе со своей производной и то

Ведь так как, например,

и существует который не может быть отличным от нуля, потому что

Очевидно, что любая обобщенная функция имеет производную (обобщенную) какого угодно порядка, определяемую по индукции: Таким образом,

Например,

По определению последовательность обобщенных функций сходится к функции если

Отсюда автоматически следует также, что последовательность производных сходится к производной потому что

Можно рассматривать ряд

функций имеющий своей сумм ой функцию что надо понимать в том смысле, что

Из сказанного, очевидно, следует, что ряд (9) можно почленно дифференцировать:

Пример 3. Рассмотрим обычную функцию

зависящую от параметра Она есть в то же время и обобщенная функция Очевидно, для всех

откуда следует, что

Преобразованием (соответственно обратным преобразованием) Фурье обобщенной функции называется обобщенная функция определяемая равенством

Это определение корректно: и непрерывно зависит от непрерывно зависит от поэтому и от линейность по очевидна. Оно естественно, так как согласуется, например, с равенством для Далее, так как

Преобразование непрерывно зависит от Это значит, что если последовательность сходится к той сходится к . В самом деле,

Отметим еще, что преобразование отображает на взаимно однозначно. То, что имеет место отображение мы уже знаем, но если произвольная обобщенная функция, то ее можно представить в виде что доказывает, что на самом деле наше преобразование отображает на Наконец, если и то что показывает взаимную однозначность отображения.

Из (10) следует

потому что, например (см. § 16.6, (7)),

Из (11) легко следует по индукции общая формула для производной порядка

Если есть обобщенная функция, преобразование К которой есть обычная функция и притом бесконечно дифференцируемая полиномиального роста, то корректно определяется свертка К с произвольной функцией при помощи равенства

Это определение пересекается с введенным в предыдущем параграфе определением свертки.

Пример потому что, например,

Следовательно,

поэтому

Пример 5. Имеем (пояснения ниже)

и мы получили формулу

Функция локально интегрируемая и ограниченная и, следовательно, принадлежит поэтому имеет смысл первый член цепи (14), а вместе с ним второй и третий. При переходе к пятому члену изменен порядок интегрирования (при конечном см. § 13.15). При переходе к предпоследнему члену заметим, что

потому что гладкая функция Последний член записан в виде сингулярного интеграла в смысле главного значения.

Отметим еще, что если действительное число, то обобщенные функции определяются при помощи равенств

Корректность этих определений следует из того, что операция перехода от или непрерывна в смысле а естественность легко выясняется на обычных локально интегрируемых функциях являющихся в то же время обобщенными.

Упражнения.

(см. скан)