§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье

Пусть коэффициенты Фурье функции На основании формулы Эйлера

где

Отсюда

и, таким образом, числа

вычисляются по единой формуле для всех к (в том числе и ).

Важно заметить, что если действительная функция, то действительны, а числа хотя вообще и комплексны, но взаимно сопряжены:

Наоборот, попарная комплексная сопряженность влечет за собой, очевидно, действительность коэффициентов Фурье функции , а если это имеет место для всех то и действительность

В самом деле, если, например, Ряд Фурье сходится к в смысле среднего квадратического. Но если его члены действительны, то и действительная функция.

Очевидно, сумма ряда Фурье может быть записана в виде

а сам ряд Фурье в виде ряда

с двумя входами.

Мы будем говорить, что ряд (5) сходится для данного значения если существует предел

Таким образом, мы будем понимать сходимость ряда в правой части (5) в смысле главного значения. Ведь можно было бы считать его сходящимся, если существует предел

когда тип неограниченно возрастают независимо друг от друга. Функции (комплексные)

образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке , потому что

Так как тригонометрические функции образуют полную систему в С, тем более в то это же свойство имеет место и для системы потому что

Заметим, что для комплексных функций периода их скалярное произведение определяется по формуле

где функция, сопряженная к . В частности, коэффициенты Фурье функции относительно функций вычисляются по формуле

Числа определяемые формулами (2), являются коэффициентами Фурье относительно функций Из сказанного следует, что ряд

полученный в (5) из обычного тригонометрического ряда Фурье, есть сам по себе ряд Фурье функции по функциям Его называют тригонометрическим рядом Фурье функции в комплексной форме.

В силу полноты системы (6) в для любой функции имеет место равенство Парсеваля:

или