Курс математического анализа
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. ВВЕДЕНИЕ § 1.2. Множество. Интервал, отрезок § 1.3. Функция § 1.4. Понятие непрерывности функции § 1.5. Производная § 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл § 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры Глава 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО § 2.1. Рациональные и иррациональные числа § 2.2. Определение неравенства § 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий § 2.4. Основные свойства действительных чисел § 2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины § 2.6. Неравенства для абсолютных величин § 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества § 2.8. Символика математической логики Глава 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ § 3.1. Понятие предела последовательности § 3.2. Арифметические действия с пределами § 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины § 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности § 3.5. Число е § 3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел § 3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы § 3.8. Критерий Коши существования предела § 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел Глава 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 4.1. Понятие предела функции § 4.2. Непрерывность функции в точке § 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция § 4.4. Функции, непрерывные на отрезке § 4.5. Обратная функция § 4.6. Показательная и логарифмическая функции § 4.7. Степенная функция x^b § 4.8. Еще о числе е § 4.9. lim sin oo/oo § 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 5.1. Производная § 5.2. Дифференциал функции § 5.3. Производная функции от функции § 5.4. Производная обратной функции § 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка § 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум § 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов § 5.9. Формула Тейлора § 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций § 5.11. Ряд Тейлора § 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба § 5.13. Выпуклость кривой на отрезке § 5.14. Раскрытие неопределенностей § 5.15. Асимптота § 5.16. Схема построения графика функции § 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции Глава 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ГЕОМЕТРИЯ КРИВОЙ § 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество § 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением § 6.3. Линейное нормированное пространство § 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве § 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая § 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции § 6.7. Длина дуги кривой § 6.8. Касательная § 6.9. Основной триэдр кривой § 6.10. Соприкасающаяся плоскость § 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой § 6.12. Эволюта § 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 7.1. Открытое множество § 7.2. Предел функции § 7.3. Непрерывная функция § 7.4. Частные производные и производная по направлению § 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость § 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент § 7.7. Независимость от порядка дифференцирования § 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка § 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса § 7.10. Замкнутые и открытые множества § 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве § 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля § 7.13. Формула Тейлора § 7.14. локальный (абсолютный) экстремум функции § 7.15. Теоремы существования неявной функции § 7.16. Теорема существования решения системы уравнений § 7.17. Отображения § 7.18. Гладкая поверхность § 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация § 7.20. Локальный относительный экстремум § 7.21. Замена переменных в частных производных § 7.22. Система зависимых функций Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ § 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям § 8.2. Комплексные числа § 8.3. Комплексные функции § 8.4. Многочлены § 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби § 8.6. Интегрирование рациональных дробей § 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей § 8.8. Подстановки Эйлера § 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева § 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений § 8.11. Тригонометрические подстановки § 8.12. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных функциях Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА § 9.2. Ограниченность интегрируемой функции § 9.3. Суммы Дарбу § 9.4. Основная теорема § 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [a, b] § 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла § 9.7. Неравенства и теорема о среднем § 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница § 9.9. Вторая теорема о среднем § 9.10. Видоизменение функции § 9.11. Несобственные интегралы § 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций § 9.13. Интегрирование по частям § 9.14. Несобственный интеграл и ряд § 9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках § 9.16. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме § 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга Глава 10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ § 10.1. Площадь в полярных координатах § 10.2. Объем тела вращения § 10.3. Длина дуги гладкой кривой § 10.4. Площадь поверхности тела вращения § 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа § 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников § 10.7. Формула Симпсона Глава 11. РЯДЫ § 11.1. Понятие ряда § 11.2. Действия с рядами § 11.3. Ряды с неотрицательными членами § 11.4. Ряд Лейбница § 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды § 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами § 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость § 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке § 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов § 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних арифметических § 11.11. Степенные ряды § 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов § 11.13. Степенные ряды функций e^z, cos z, sinz комплексной переменной Глава 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 12.2. Мера Жордана § 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств § 12.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные координаты § 12.5. Другие случаи измеримости § 12.6. Понятие кратного интеграла § 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема § 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии § 12.9. Свойства кратных интегралов § 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным § 12.11. Непрерывность интеграла по параметру § 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя § 12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай § 12.14. Замена переменных в кратном интеграле § 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14 § 12.16. Полярные координаты в плоскости § 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве § 12.18. Гладкая поверхность § 12.19. Площадь поверхности Глава 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 13.1. Криволинейный интеграл первого рода § 13.2. Криволинейный интеграл второго рода § 13.3. Поле потенциала § 13.4. Ориентация плоской области § 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл § 13.6. Интеграл по поверхности первого рода § 13.7. Ориентация поверхностей § 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области § 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность § 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского § 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса § 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру § 13.13. Несобственный интеграл § 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла § 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области Глава 14. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ § 14.2. Пространство L'(L) § 14.3. Пространство L2 (L2) § 14.4. Пространство ... § 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве § 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением § 14.7. Ортогонализация системы § 14.8. Полнота системы функций в ... Глава 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ § 15.2. Сумма Дирихле § 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье § 15.4. Теоремы об осцилляции § 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций § 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье § 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье § 15.8. Оценка остатка ряда Фурье § 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева § 15.10. Теорема Вейерштрасса § 15.11. Многочлены Лежандра Глава 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ § 16.1. Понятие интеграла Фурье § 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции § 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье § 16.4. Производная преобразования Фурье § 16.5. Обобщенные функции в смысле D § 16.6. Пространство S § 16.7. Пространство S обобщенных функций |
