Курс математического анализа

Научная библиотека

Научная библиотека

Курс математического анализа

Никольский С.М. Курс математического анализа: Учебник для вузов.— 5-е изд., перераб.— М.: Физико-математическая литература, 2000. — 592 с.

Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.

Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.

Настоящее издание переработано и сокращено. Книга исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок
§ 1.3. Функция
§ 1.4. Понятие непрерывности функции
§ 1.5. Производная
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры
Глава 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа
§ 2.2. Определение неравенства
§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел
§ 2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины
§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин
§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества
§ 2.8. Символика математической логики
Глава 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 3.1. Понятие предела последовательности
§ 3.2. Арифметические действия с пределами
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины
§ 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности
§ 3.5. Число е
§ 3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел
§ 3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы
§ 3.8. Критерий Коши существования предела
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
Глава 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 4.1. Понятие предела функции
§ 4.2. Непрерывность функции в точке
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке
§ 4.5. Обратная функция
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции
§ 4.7. Степенная функция x^b
§ 4.8. Еще о числе е
§ 4.9. lim sin oo/oo
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 5.1. Производная
§ 5.2. Дифференциал функции
§ 5.3. Производная функции от функции
§ 5.4. Производная обратной функции
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка
§ 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов
§ 5.9. Формула Тейлора
§ 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
§ 5.11. Ряд Тейлора
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей
§ 5.15. Асимптота
§ 5.16. Схема построения графика функции
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции
Глава 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ГЕОМЕТРИЯ КРИВОЙ
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением
§ 6.3. Линейное нормированное пространство
§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции
§ 6.7. Длина дуги кривой
§ 6.8. Касательная
§ 6.9. Основной триэдр кривой
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой
§ 6.12. Эволюта
§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 7.1. Открытое множество
§ 7.2. Предел функции
§ 7.3. Непрерывная функция
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость
§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка
§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля
§ 7.13. Формула Тейлора
§ 7.14. локальный (абсолютный) экстремум функции
§ 7.15. Теоремы существования неявной функции
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений
§ 7.17. Отображения
§ 7.18. Гладкая поверхность
§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация
§ 7.20. Локальный относительный экстремум
§ 7.21. Замена переменных в частных производных
§ 7.22. Система зависимых функций
Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям
§ 8.2. Комплексные числа
§ 8.3. Комплексные функции
§ 8.4. Многочлены
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей
§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей
§ 8.8. Подстановки Эйлера
§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева
§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений
§ 8.11. Тригонометрические подстановки
§ 8.12. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных функциях
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции
§ 9.3. Суммы Дарбу
§ 9.4. Основная теорема
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [a, b]
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница
§ 9.9. Вторая теорема о среднем
§ 9.10. Видоизменение функции
§ 9.11. Несобственные интегралы
§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
§ 9.13. Интегрирование по частям
§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд
§ 9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках
§ 9.16. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме
§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга
Глава 10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 10.1. Площадь в полярных координатах
§ 10.2. Объем тела вращения
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников
§ 10.7. Формула Симпсона
Глава 11. РЯДЫ
§ 11.1. Понятие ряда
§ 11.2. Действия с рядами
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами
§ 11.4. Ряд Лейбница
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних арифметических
§ 11.11. Степенные ряды
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
§ 11.13. Степенные ряды функций e^z, cos z, sinz комплексной переменной
Глава 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 12.2. Мера Жордана
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные координаты
§ 12.5. Другие случаи измеримости
§ 12.6. Понятие кратного интеграла
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии
§ 12.9. Свойства кратных интегралов
§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным
§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру
§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя
§ 12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай
§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14
§ 12.16. Полярные координаты в плоскости
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве
§ 12.18. Гладкая поверхность
§ 12.19. Площадь поверхности
Глава 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода
§ 13.3. Поле потенциала
§ 13.4. Ориентация плоской области
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода
§ 13.7. Ориентация поверхностей
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру
§ 13.13. Несобственный интеграл
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области
Глава 14. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 14.2. Пространство L'(L)
§ 14.3. Пространство L2 (L2)
§ 14.4. Пространство …
§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением
§ 14.7. Ортогонализация системы
§ 14.8. Полнота системы функций в …
Глава 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
§ 15.2. Сумма Дирихле
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье
§ 15.4. Теоремы об осцилляции
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье
§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева
§ 15.10. Теорема Вейерштрасса
§ 15.11. Многочлены Лежандра
Глава 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье
§ 16.4. Производная преобразования Фурье
§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D
§ 16.6. Пространство S
§ 16.7. Пространство S обобщенных функций