§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств

Пусть функция неотрицательна на отрезке и интегрируема (в частности, непрерывна) на нем. Обозначим через ее график — множество всех точек где а и через множество всех точек плоскости, для которых выполняются неравенства

Теорема 1. Множество измеримо и его мера (двумерная) равна

В самом деле, в силу интегрируемости на для любого найдется разбиение отрезка такое, что

где соответствующие нижняя и верхняя интегральные суммы функции равные площадям фигур, первая из которых принадлежит а вторая содержит

Это доказывает теорему.

Теорема 2. Непрерывная (плоская) кривая на плоскости проектируемая взаимно однозначно на отрезок некоторой прямой есть иножество точек, имеющее двумерную меру нуль.

В самом деле, можно считать, что находится по одну сторону от прямой иначе в качестве можно взять другую ей параллельную прямую, удовлетворяющую этим свойствам. Построим прямоугольную систему координат с осью совпадающей с Тогда будет графиком некоторой непрерывной функции на отрезке

Множество определенное для как в теореме 1, на основании этой теоремы измеримо, а как часть границы имеет двумерную меру нуль.

Теорема 3. Плоское ограниченное множество измеримо (в двумерном смысле), если его граница состоит из конечного числа точек и кусков непрерывных кривых, каждый из которых проектируется взаимно однозначно на одну из осей прямоугольной системы координат.

В самом деле, граница множества есть сумма конечного числа множеств, имеющих двумерную меру нуль.

Заметим, что гладкий кусок кривой непрерывны и всегда можно разбить на конечное число частей, проектирующихся на одну из осей координат. Ведь (см. § 6.5) каждую точку можно покрыть интервалом (в случае или полуинтервалом) таким, что соответствующая ему часть нашей гладкой кривой проектируется на одну из осей, а на основании леммы Бореля среди этих интервалов можно выбрать конечное их число, все же покрывающих отрезок

В заключение отметим, что произвольная плоская непрерывная кривая может и не иметь двумерной меры нуль. Вспомним о кривой Пеано, точки которой заполняют квадрат (см. § 6.5).

Пример 1. Эллипс

делится на две части: верхнюю и нижнюю, определенные функциями

непрерывными на отрезке

По теореме 1 куски и следовательно, и кривая имеют двумерную меру нуль. Но тогда внутренность данного эллипса, имеющая своей границей, измерима в двумерном смысле (по Жордану).