§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье

Теорема 1. Пусть функция периода имеет на всей оси непрерывную кусочно гладкую производную порядка ее производная подчиняется неравенству

Тогда уклонение функции от ее суммы Фурье оценивается следующим образом:

Доказательство. Из условия теоремы следует, что ряд Фурье функции сходится к ней на действительной оси. Отклонение от может быть записано в виде

где — комплексные коэффициенты Фурье выраженные затем (в третьем члене цепи) через коэффициенты Фурье с производной согласно формуле (3) предыдущего параграфа.

Если учесть, что (ведь х действительное) и равенство Парсеваля для то

и мы получили первую оценку в (2). Вторая же, более грубая, оценка вытекает из неравенства

Заметим, что можно доказать оценку

где С — константа, не зависящая от но это потребовало бы более сложных рассуждений.

Упражнения.

1. Показать, ограничившись для простоты случаем, когда I делится на 4, что первая оценка в (2) точная.

Указание. Из (3) при следует

и первое, так же как и второе неравенства (4) достижимы, если числа с подобрать пропорциональными соответственно (см. замечание после (8) § 6.2).