§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость

Рассмотрим последовательность функций определенных на некотором множестве точек -мерного пространства. Они могут принимать комплексные значения Можно считать также, что комплексные точки пробегающие множество точек комплексной плоскости, и тогда функции комплексной переменной х.

Пусть для каждого последовательность стремится к числу (функции от ). Обозначим через

верхнюю грань модулей уклонений от распространенную на множество Будем предполагать, что для каждого конечно

Говорят, что последовательность равномерно сходится если

Дадим второе эквивалентное определение: последовательность равномерно сходится к на если для любого найдется такое что для выполняется неравенство

Если выполняется первое определение, то для любого можно найти такое что для всех Но тогда

длявсех т. е. выполняется второе определение. Если же выполняется второе определение, то для любого найдется такое что для выполняется неравенство (2). Взяв верхнюю грань его левой части по получим откуда т.е. выполняется первое определение.

Верно также третье (эквивалентное) определение: последовательность равномерно сходится на к если существует последовательность положительных чисел (не зависящих от х) такая, что для всех

В самом деле, если верно первое определение, то, положив получим третье определение. Обратно, из третьего определения следует

Например, пусть функции определены и непрерывны на отрезке График функции изображен на чертеже (рис. 11.2). Кроме того, там изображена полоска толщиной :

состоящая из точек (х,у), удаленных от этого графика в направлении оси у на величину, меньшую, чем

Последовательность функций равномерно на стремится к если для любого найдется такое, что все графики функций попадут полностью в

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Но могут быть такие последовательности сходящиеся к для любого что для некоторых не существует такое чтобы графики попадали полностью . В этом случае мы говорим, что последовательность сходится к на неравномерно (см. далее пример 2 и рис. 11.3).

Можно еще дать четвертое определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность равномерно сходится на если для любого найдется такое что выполняется неравенство

при любых и натуральных для всех

Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого найдется такое что для и любых выполняется неравенство

т.е. выполняется четвертое определение. С другой стороны, пусть выполняется четвертое определение; тогда для каждого отдельного значения выполняется, очевидно, обычный признак Коши сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции Зададим теперь и подберем так, как указано в четвертом определении. В неравенстве (4), где фиксировано, перейдем к пределу при в результате получим

и так как можно взять любым, то выполняется второе определение.

Нетрудно видеть, что если — число, а — две последовательности функций, равномерно сходящиеся на то последовательности также равномерно сходятся на Нетрудно также видеть, что если последовательность функций равномерно сходится на то она равномерно сходится и на Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

Заметим еще, что каждой последовательности функций соответствует ряд

n-е частичные суммы которого соответственно равны .

Пусть теперь задан ряд

члены которого, вообще говоря, комплексные функции от , где по-прежнему некоторое множество точек n-мерного пространства или комплексной плоскости.

По определению ряд (5) равномерно сходится на множестве к функции если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на к

Определение равномерной сходимости ряда, очевидно, можно высказать и так: ряд (5) равномерно сходится на множестве если для любого найдется такое что для и всякого выполняется неравенство

Следующая теорема дает важный критерий равномерной сходимости ряда.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Если члены ряда (5) удовлетворяют неравенствам

где числа (не зависящие от х), и если ряд с членами сходится, то ряд (5) сходится на множестве абсолютно и равномерно.

В самом деле, из сходимости ряда с членами и из (6) следует, что для любого найдется такое что при любых произвольном

а это и значит, что ряд (5) равномерно сходится на Абсолютная его сходимость очевидна.

Теорема 2. Если последовательность функций равномерно сходится на множестве к функции непрерывны в точке (относительно Е), то также непрерывна в

На языке рядов эта теорема гласит: сумма равномерно сходящегося на ряда функций, непрерывных в точке есть непрерывная функция в этой точке.

Доказательство. Составим разность

Зададим . В силу равномерной сходимости на найдется такое, что

и, в частности,

Для найденного функция непрерывна в точке поэтому найдется окрестность точки такая, что

Теперь из следует, что для точек выполняются неравенства

т. е. имеет место непрерывность в точке Теорема доказана. Рассмотрим ряд

где функции от (или постоянные числа).

Положим усеченной сумме ряда (8) применим преобразование (Абеля):

Легко теперь установить следующие два критерия равномерной сходимости (в случае постоянных просто сходимости) ряда (11).

Теорема 3 (признак Дирихле равномерной сходимости ряда). Если частные суммы ряда

ограничены в совокупности, а действительная функция (с возрастанием к) равномерно (относительно на стремится к нулю, убывая, то ряд (11) сходится равномерно.

В самом деле, пусть константа превышает модули частных сумм ряда (13). Тогда при любых и к

Поэтому в силу (12) и того факта, что равномерно стремится к нулю, убывая, выполняется неравенство

для любых и любых если только достаточно велико. Следовательно, ряд (11) равномерно сходится. Последнее неравенство в этой цепи верно для всех силу равномерного стремления к нулю.

Теорема 4 (признак Абеля равномерной сходимости ряда). Если действительные функции монотонно убывают (с возрастанием к) и ограничены в совокупности, а ряд (13) равномерно сходится на то и ряд (11) сходится равномерно на

В самом деле, пусть (функции могут быть и отрицательными). В силу равномерной сходимости ряда (13) для любого

можно указать такое что для любых Поэтому в силу (12) и монотонности для любых

т.е. ряд (11) равномерно сходится. Пример 1. Ряд

сходится на отрезке [0, 1], но неравномерно. В самом деле, его частичная сумма равна и

Поэтому не стремится к нулю при

С другой стороны, ряд (14) равномерно сходится на любом отрезке где так как в этом случае

Сумма ряда (14) разрывна в точке хотя члены ряда — непрерывные функции на [0,1]. Это показывает, что сумма неравномерно сходящегося ряда непрерывных функций не обязательно есть непрерывная функция. Однако существуют неравномерно сходящиеся ряды (последовательности) непрерывных функций, сходящиеся к непрерывным же функциям, как показывает следующий пример. Пример 2. Пусть (рис. 11.3) функция

линейна и непрерывна на Очевидно, .

С другой стороны, сходимость на отрезке [0,1] неравномерна, потому что На всяком же отрезке сходимость равномерна, потому что на при Пример 3. Ряды

при равномерно и абсолютно сходятся на всей действительной оси потому что абсолютные величины их членов не превышают , а при ряд сходится. В этом рассуждении мы применили признак

Вейерштрасса. При он уже не применим, так как в этом случае ряд расходится. Однако при наши ряды равномерно сходятся на отрезке каково бы ни было положительное где . В самом деле, частные суммы рядов

соответственно равны (см. примеры в конце § 8.2)

Они ограничены в совокупности на

кроме того, поэтому по признаку Дирихле ряды (13) равномерно сходятся на