§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем

Теорема 1. Если интегрируемы и удовлетворяют неравенству на то

Существование этих интегралов уже предположено и надо доказать только само неравенство. Имеем, очевидно, для любого разбиения

Переходя к пределу при получим (1). Теорема 2. Если интегрируема на то

где

Имеем Поэтому по предыдущей теореме откуда следует первое неравенство (2). Далее, поэтому и мы получили второе неравенство (2).

Теорема 3 (о среднем). Если интегрируемы на и то

где

Действительно, в силу того, что О,

Интегрируя эти неравенства, получим

Если то второй интеграл в этих соотношениях также равен нулю и равенство (3) очевидно; если же то из (5) следует т.е. второй член в этих соотношениях равен числу А, удовлетворяющему неравенствам что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если в этой теореме непрерывна на то найдутся точки такие, что и точка такая, что поэтому в случае непрерывной на функции равенство (3) можно записать в виде

Теорема 4. Если интегрируемая неотрицательная на функция такая, что в некоторой точке ее непрерывности то

В самом деле, из условия теоремы следует, что существуют число и отрезок а содержащий в себе такие, что на а. Пусть множество (состоящее из одного или двух отрезков). Тогда

где длина

Следствие 2. Если в теореме непрерывны на и на то в равенстве

В самом деле, пусть и для любых равенство (6) не выполняется; тогда функция сохраняет знак на для определенности положительный. Тогда было бы что противоречило бы теореме 4, ведь здесь под интегралом стоит положительная на функция.