§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций

По определению функция удовлетворяет на отрезке (интервале ) условию Липшица степени а если для любых выполняется неравенство

где не зависит от При в этом случае просто говорят, что удовлетворяет условию Липшица.

Если, например, непрерывная и кусочно гладкая на функция, то она удовлетворяет условию Липшица на потому что

Если функция имеет на интервале ограниченную производную и является непрерывной на , то и в этом случае мы, применяя теорему Лагранжа, получим

и убедимся, что удовлетворяет на условию Липшица.

Функция удовлетворяет условию Липшица степени а на всей действительной оси (тем более на любом отрезке), потому что если считать, что то получим

При последнее неравенство очевидно. При это видно из того, что функция от в его левой части имеет предел, равный нулю при и равный 1 при и она имеет положительную производную на таким образом, возрастает на

Теорема 1. Пусть функция кроме того, она удовлетворяет условию Липшица степени а на отрезке (в частности, если непрерывная кусочно гладкая на Тогда, каковы бы ни были , удовлетворяющие неравенствам ряд Фурье сходится на к и притом равномерно.

Доказательство. Пусть Тогда для точки и принадлежат и потому

При найденном воспользуемся формулой (6) § 15.3:

имеющей место равномерно относительно Тогда для любого равномерно для всех получим в силу (1) оценку

где выбрано так, чтобы выполнялось неравенство и затем взято настолько большим, чтобы при Теорема доказана.

Теорема 2. Если функция непрерывная и кусочно гладкая на действительной оси, то ее ряд Фурье сходится к ней на всей действительной оси и притом равномерно.

В самом деле, на отрезке , где непрерывная и кусочно гладкая, и потому ее ряд Фурье по предыдущей теореме равномерно сходится к ней на следовательно, вследствие периодичности и членов ряда, и на всей действительной оси.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Системы функций

полны соответственно:

1) в пространстве

2) в подпространстве С четных функций, а также в

3) в подпространстве С нечетных функций, а также в классе функций, принадлежащих и удовлетворяющих условию

Доказательство. В самом деле, пусть произвольная функция класса . Она равномерно непрерывна на отрезке и имеет период Поэтому для любого можно указать полигональную функцию периода такую, что

для всех При этом если четная или нечетная функция, то можно сделать так, что и будет соответственно четная или нечетная. Например, если точки графика с абсциссами

где достаточно большое натуральное число, соединить отрезками, то получим ломаную, описываемую нужной функцией Функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, потому ее сумма Фурье при достаточно большом удовлетворяет неравенству

При этом если четная или нечетная функция, то и соответственно обладает одним из этих свойств.

Из (6) и (7) следует, что для всех х. Это доказывает теорему, потому что тригонометрический полином — конечная линейная комбинация из функций соответственно систем (3)-(5). Отметим, что есть сумма Фурье не , а .

Это утверждение не противоречит тому факту, что существуют функции ряды Фурье которых в отдельных точках расходятся.

Надо еще иметь в виду, что если непрерывную на (принадлежащую функцию продолжить четным образом, а затем периодически с периодом продолжить на действительную ось, то получим четную функцию класса С. Если же функцию, непрерывную на удовлетворяющую условию продолжить нечетным образом, а затем периодически, то получим нечетную функцию класса С.

Заметим, что из теоремы 3 следует, что для любой непрерывной периода функции существует равномерно сходящаяся к ней (на действительной оси) последовательность тригонометрических полиномов откуда следует, что функция представима в виде равномерно сходящегося к ней ряда тригонометрических полиномов:

Теорема 4. Ряд Фурье функции (вообще ) сходится к ней в смысле среднего квадратичного на периоде.

Доказательство. В самом деле, по предыдущей теореме система (3) тригонометрических функций полна в С. Тем более она полна в (см. теорему § 14.9). Но тогда теорема верна на основании теоремы 1 § 14.6 из общей теории ортогональных рядов.

В силу той же теоремы для полной ортогональной системы тригонометрических функций (3) выполняется равенство Парсеваля

или

какова бы ни была функция (или, более общо, ).

Пример 1. Функция периода определяемая равенством

очевидно, принадлежит Ее ряд Фурье имеет вид

потому что она нечетная, а

Любой отрезок не содержащий в себе точки содержится строго внутри некоторого другого отрезка котором функция непрерывна вместе со своей производной, следовательно, — гладкая. Но тогда на основании теоремы 1 ряд Фурье (10) функции сходится к ней равномерно на Он, таким образом, сходится в любой точке Но и в этих исключительных точках он тоже сходится к ведь в них так же как равны нулю все члены ряда (10). Однако равномерная сходимость в любых окрестностях точек не имеет места.

Кроме того, очевидно, что и потому на основании теоремы 4 ряд Фурье (10) функции сходится к в смысле среднего квадратического на

Функция представляет собой простейшую разрывную периода функцию, имеющую единственную точку разрыва (на периоде). Ее скачок в точке разрыва равен

Очевидно, функция график которой сдвинут на величину в направлении оси имеет разрывы в точках со скачками, равными Она разлагается в тригонометрический ряд:

который является ее рядом Фурье, потому что он сходится в смысле среднего квадратического к на (см. следствие леммы 1 § 14.6).

Замечание. Функция дает нам интересный пример функции, ряд Фурье которой сходится к ней не только в ее точках непрерывности, но и в ее точках разрыва.

Следующая теорема дает общий класс функций, ряды Фурье которых сходятся к ним в их точках разрыва.

Теорема 5. Пусть функция кусочно гладкая на отрезке и имеет единственную точку разрыва Тогда ряд Фурье сходится в точке к среднему арифметическому правого и левого пределов в этой точке:

Доказательство. Скачок функции в точке обозначим через

Положим где (см. пример 1). Так как по условию

то, очевидно,

Скачок функции в точке тоже равен числу х и

Имеем поэтому

Это показывает, что функция непрерывна в точке Следовательно, она кусочно гладкая, непрерывная в некоторой окрестности точки Таким образом, ее сумма Фурье сходится к ней в точке

Мы знаем также, что сумма Фурье тоже сходится в точке Поэтому

Мы доказали, что

что и требовалось доказать.

Ряд Фурье функции описанной в теореме 5 со скачком в точке хотя и сходится в этой точке и ее окрестности, но медленно и притом неравномерно. Ряд же Фурье сходится лучше и уже во всяком случае равномерно в некоторой окрестности . С другой стороны, функция выражается очень простой формулой, и, быть может, даже не будет необходимости разлагать ее в ряд Фурье. Во всяком случае, ряд Фурье функции очень хорошо изучен в специальной литературе.

Отметим некоторые факты, относящиеся к вопросу о сходимости и расходимости рядов Фурье.

А.Н. Колмогоров привел пример функции, принадлежащей лебегову классу L, ряд Фурье которой расходится всюду на действительной оси.

Л. А. Е. Карлесон показал, что, какова бы ни была функция, принадлежащая лебегову классу ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Так как С с то это утверждение Карлесона имеет место и для всякой непрерывной на действительной оси функции периода Утверждение Карлесона верно и для функций

С другой стороны, известны (Дюбуа Реймон, Фейер) примеры непрерывных периодических функций ряды Фурье которых расходятся на множестве всех рациональных точек. Они показывают, что если о функции известно только, что она непрерывна, то этого недостаточно, чтобы сказать, что ее ряд Фурье сходится. Для сходимости нужно наложить на еще некоторые добавочные условия. В доказанных выше теоремах таким добавочным условием было условие Липшица степени а. В других более изысканных теориях это условие заменяется на более слабые достаточные признаки.

Полученные выше свойства рядов Фурье функций периода автоматически переносятся на ряды функций периода

Таким образом, если функция периода удовлетворяет на отрезке условию Липшица степени то ее ряд Фурье (12) сходится к ней равномерно на любом отрезке если же кусочно гладкая на то в точках х ее разрыва, принадлежащих ее ряд Фурье сходится к

Наконец, заметим, что если функция описывает физическое колебание, представляющее собой сумму конечного или бесконечного числа некоторых гармонических колебаний, соответствующих частотам то колебание можно легко получить, учитывая, что числа суть коэффициенты Фурье вычисляемые по формулам (13). С другой стороны, эти колебания можно, как известно, физически получить из данного сложного реального колебания при помощи специальных физических приспособлений — резонаторов, и при этом соответствующие практические результаты хорошо согласуются с математическими.

Приведенные в примерах функции имеют период

Пример 1.

Пример 2.

Пример четная функция, равная на

Пример четная функция, равная 1 в и равная нулю в интервале

Пример 5. - непрерывная четная функция, равная нулю в равная 1 при и линейная в

Упражнения.

1. Выяснить, на каких отрезках или, может быть, на всей действительной оси сходятся равномерно ряды из примеров 1-5.