§ 2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины

В предыдущих параграфах были определены действительные числа в виде бесконечных десятичных разложений и было отмечено, что они удовлетворяют свойствам, составляющим указанные выше группы (коротко, свойствам

Но мы могли бы, рассуждая аналогично, определить бесконечные двоичные или троичные (вообще, n-ичные) разложения и ввести для них понятия операции сложения и умножения При проверке оказалось бы, что эти новые объекты тоже удовлетворяют свойствам

Важно отметить, что все указанные определения действительных чисел с формальной точки зрения не отличаются друг от друга. Это следует из формулируемой ниже теоремы, которую можно назвать теоремой об изоморфизме множеств, удовлетворяющих условиям

Понятие изоморфизма, точнее, изоморфизма относительно свойств (предел) будет разъяснено ниже попутно.

Теорема 1. Пусть есть множество десятичных дробей есть множество элементов для которых определены понятия больше и операции сложения и умножения так, что выполняются свойства

Тогда между элементами можно указать взаимно однозначное соответствие

являющееся изоморфизмом по отношению к понятию арифметическим действиям и понятию предела.

Это значит, что если

то

и если при этом то

Наконец, для ограниченной сверху неубывающей последовательности элементов имеет место

Таким образом, будем ли мы оперировать десятичными разложениями или им соответствующими элементами если это оперирование сводится к арифметическим действиям, взятым в конечном числе, или к нахождению предела неубывающей последовательности, мы каждый раз будем приходить к элементам находящимся в указанном выше соответствии

Это указывает на возможность корректно определить понятие действительного числа аксиоматически в том смысле, как это уже было определено в конце § 2.1.

Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все равно, исходим ли мы при определении действительных чисел из бесконечных десятичных дробей или из аксиоматического подхода к понятию числа. Конечно, с философской точки зрения второй подход более приемлем: числа суть абстракции, выражающие количественные отношения в природе, а десятичные дроби — их представляющие формальные символы.

Имеются еще очень важные для геометрии и физических наук представления действительных чисел. Это — величины: длина отрезка, масса, скорость и др. Между их значениями и действительными числами, иногда только положительными, как в случае массы, устанавливается соответствие, носящее характер изоморфизма. В 4-м издании книги автора "Курс математического анализа" (§ 2.5) прослежено такое соответствие подробно.