§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода

Пусть гладкая поверхность определяется уравнениями

где измеримая область и непрерывно дифференцируемые на функции.

Пусть, далее, на или в окрестности задана непрерывная функция

Интегралом первого рода функции по поверхности называется выражение

Слева в (2) стоит обозначение интеграла первого рода от функции по , а справа — его определение. Чтобы вычислить этот интеграл, надо в выражение слева подставить вместо x, y, z соответственно функции и считать, что дифференциальный элемент поверхности

Очевидно, если бы представляла собой материальную поверхность с плотностью распределения массы, равной

то при помощи интеграла (2) вычислялась бы масса поверхности

Если поверхность задана при помощи другой пары параметров

где

— непрерывно дифференцируемые на функции, устанавливающие взаимно однозначное соответствие

с якобианом

то формула (2) остается инвариантной.

В самом деле, замена переменных на в интеграле (2) приводит к выражению

потому что

Если гладкая поверхность определяется уравнением , где непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на то можно считать, что она задана параметрически через параметры

Тогда

и, следовательно,

Замечание. Если поверхность гладкая, т.е. описывается параметрически уравнениями (1) с указанными там свойствами функций и в то же время описывается уравнением вида (3), то часто функция непрерывна на но ее частные производные непрерывны только на и неограничены при подходе к границе Например, такое явление имеет место при вычислении интеграла от по верхнему полушарию. В этом случае формула (4) для интеграла от по остается верной, но интеграл в правой ее части надо понимать в несобственном смысле:

где множество точек отстоящих до границы на расстоянии, большем, чем

Интеграл по поверхности (первого рода) функции можно определить еще и следующим образом.

Разобьем на измеримые части, пересекающиеся попарно разве что по своим границам. Каждой части соответствует определенный кусок поверхности Пусть произвольная точка на Составляем сумму

где площадь (см. § 12.19). Предел ее равен интегралу от по

В самом деле, пусть Тогда

где знак обозначает, что в подставлена точка есть возникающее при применении теоремы о среднем число см. ниже). Ведь очевидно, что