§ 12.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные координаты
Внутреннюю и внешнюю меры ограниченного множества 
можно еще определить так:
где 
обозначает произвольное измеримое множество, в первом случае принадлежащее 
, а во втором — содержащее 
. В самом деле, с одной стороны,
потому что фигуры а измеримы, а с другой стороны, если 
такое измеримое множество, что 
то найдется также 
так что 
Следовательно, 
и вследствие произвольности 
имеет место 
Мы доказали первое равенство (1). Подобным образом доказывается и второе.
Из (1), очевидно, следует: для того чтобы множество 
было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было 
нашлись два измеримых множества 
таких, что 
Площадь (двумерная жорданова мера) фигуры 
ограниченной полярными лучами 
и кривой 
определяемой в полярных координатах непрерывной функцией 
равна (см. § 10.1 и вопрос, поставленный там)
Покажем, что 
. В самом деле, произвольный круговой сектор есть измеримое множество, потому что его граница есть непрерывная кусочно гладкая кривая. Далее, из существования интеграла (2) следует, что для всякого 
найдется такое разбиение отрезка 
что соответствующая ему верхняя интегральная сумма отличается от нижней менее чем на 
Но верхняя сумма есть мера суммы конечного числа круговых секторов, содержащих 
а нижняя есть мера суммы конечного числа круговых секторов, содержащихся в 
Это и доказывает наше утверждение в силу (1).
