§ 9.11. Несобственные интегралы

Зададим на конечном полуинтервале функцию Допустим, что она интегрируема на любом отрезке где и неограничена в окрестности точки Тогда ее интеграл на или, что все равно, на в обычном смысле (Римана), не может существовать, потому что интегрируемая на по Риману функция необходимо ограничена. Однако может случиться, что существует предел Если это так, то этот предел называют несобственным интегралом от на отрезке и записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он. расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Допустим теперь, что функция задана на луче и интегрируема на любом конечном отрезке где Если существует предел

то он называется несобственным интегралом от на и обозначается так:

Условимся о следующей терминологии. Выражение

будем называть интегралом (от с особенностью в точке если выполняются следующие условия: если конечная точка, то функция интегрируема на при любом удовлетворяющем неравенствам кроме того, неограничена в окрестности точки если же то про функцию предполагается лишь то, что она интегрируема на при любом конечном

Подобным образом определяется интеграл с единственной особенностью в точке а. Теперь конечная точка. Если точка тоже конечна, то в окрестности а неограничена и интегрируема на любом отрезке где Если же то функция предполагается интегрируемой на для любого

В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать интеграл (2) с единственной особенностью в точке конечной или бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке а.

Теорема 1. Пусть задан интеграл (2) с единственной особенностью в точке Для его существования необходимо и достаточно выполнение условия (Коши): для всякого существует такое, что

каковы бы ни были удовлетворяющие неравенствам

Доказательство. Рассмотрим функцию

Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого существует где так что выполняется неравенство для всех и удовлетворяющих неравенствам Но

и теорема доказана.

Пример 1. Интеграл

где постоянное число, имеет, очевидно, единственную особенность в точке Чтобы выяснить, сходится ли он, надо вычислить предел

Таким образом, интеграл (4) сходится при и равен и расходится при

Если же то он расходится:

Пример 2. Интеграл

Пусть снова задан интеграл

имеющий единственную особенность в точке Тогда интеграл

где также имеет единственную особенность в точке Условие Коши существования интегралов (5) и (6) формулируется, очевидно, совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кроме того, при очевидно, имеет место

где обычный риманов собственный интеграл, а интегралы несобственные.

Отметим равенство

где постоянные. Его надо понимать в том смысле, что если существуют интегралы в правой части, то существует также интеграл в левой и имеет место равенство (8).

Говорят, что интеграл (5) (имеющий особенность в точке b) сходится абсолютно, если сходится интеграл

от абсолютного значения

Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из сходимости интеграла (9) следует, что для любого на интервале найдется точка такая, что если то

т. е. для интеграла (1) выполняется условие Коши. Так как

то после перехода к пределу при для абсолютно сходящегося интеграла (5) получим

Несобственный интеграл может сходиться и неабсолютно (см. далее примеры § 9.13, 9.14). Конечно, несобственный интеграл от неотрицательной функции если сходится, то абсолютно. Отметим еще следующую очевидную теорему.

Теорема 2. Если непрерывна на отрезке и имеет непрерывную на производную то

где интеграл справа может быть собственным и несобственным. Например,

где особенность интеграла имеет место в левом конце отрезка [0,1].