§ 9.4. Основная теорема

В § 9.3 доказано, что для ограниченной на функции

Мы знаем также, что для любого разбиения

где

— интегральная сумма на соответствующая разбиению

Положим т.е. есть максимум среди длин частиц разбиения

Теорема 1. Для существования интеграла от ограниченной функции на необходимо и достаточно условие

Доказательство. Из (1) и (4) следует, что

и так как числа не зависят от то

и мы получили (см. (1), (2)) две системы неравенств

Из них следует:

и мы доказали

т. е. существование интеграла от на

Обратно, пусть существует интеграл от на т.е. существует предел (6), поэтому для любого найдется такое что

Отметим, что нижняя и верхняя грани по всем точкам равны соответственно (см. лемму 1 из § 9.3)

поэтому из (7) следует откуда

Этим доказано, что условие (4) является необходимым для существования интеграла

Однако условие (4) можно заменить более простым условием, как показывает следующая теорема.

Теорема 2. Условие (4) эквивалентно следующему: для всякого найдется разбиение такое, что

Доказательство. Из (4) следует (8) непосредственно: если верно (4), то в качестве можно взять любое разбиение с

Докажем теперь, что из (8) следует (4). Это самая нетривиальная часть теории, утверждающая, что если для любого найдется зависящее от него разбиение для которого то также найдется такое, что для всех разбиений выполняется неравенство

Именно, в качестве возьмем число, удовлетворяющее неравенствам где

Тогда имеем (пишем без индексов)

где сумма распространена на все (замкнутые) отрезки разбиения каждый из которых содержит в себе одну из точек — на все остальные отрезки

В сумму входит не более чем слагаемых — один отрезок покрывает точку а, другой — точку , и каждая из точек покрывается одним или двумя отрезками. Имеем (ведь )

Сумму запишем в виде кратной суммы: где обозначает сумму слагаемых соответствующих отрезкам каждый из которых попал в один и тот же интервал старого разбиения

Имеем

Поэтому для всех разбиений для которых т. е. имеет место (4).

Из теорем 1 и 2 следует

Теорема 3 (основная). Для того чтобы существовал определенный интеграл от ограниченной функции на отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось разбиение отрезка такое, чтобы

Замечание 1. Неравенство (9) дает сравнительно простой критерий существования интеграла для ограниченной на отрезке функции.

Мы им будем пользоваться при обосновании свойств определенных интегралов.

Теорема 4. Для существования определенного интеграла от ограниченной на функции необходимо и достаточно, чтобы

В самом деле, из (4) и (1) следует (10), а из (10) для любого следует существование разбиений для которых

откуда получим (9) и, следовательно, (4).

Пример 1. Для функции (Дирихле) равной 1 в рациональных точках отрезка [0,1] и в иррациональных, при любом разбиении отрезка [0,1] верхняя интегральная сумма а нижняя Таким образом, и функция Дирихле ограничена, но не интегрируема.