Глава 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ГЕОМЕТРИЯ КРИВОЙ

§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество

Произвольную упорядоченную систему из действительных (комплексных) чисел называют вектором или точкой n-мерного действительного (комплексного) пространства Таким образом, есть множество всех указанных х.

Векторы (точки) мы будем складывать, вычитать и умножать на них действительные (комплексные) числа, руководствуясь следующим правилом: если — действительные (комплексные) числа, то

Вектор (точку) называют нулевым вектором (точкой) Очевидно для любого . Полагают еще и тогда, очевидно,

В приложениях (в геометрии, в механике) говорят, что есть вектор, начало которого есть нулевая точка, а конец — точка . В двумерном и трехмерном случаях такая терминология имеет наглядный смысл.

Непосредственно проверяется выполнение следующих свойств действительные (комплексные) числа):

Множество элементов любой природы называется линейным действительным (комплексным) множеством с нулевым элементом 0, если для любых двух элементов силу некоторого закона определен элемент называемый их суммой, и если для любого действительного (комплексного) числа а и любого элемента определен также элемент (произведение а на х) и при этом выполняются перечисленные выше свойства (аксиомы) 1)-8).

Из сказанного следует, что можно рассматривать как пример линейного множества. Но существуют и многие другие такие примеры. Множество всех последовательностей действительных или комплексных чисел если считать, что

есть линейное множество. Его подмножество, состоящее из сходящихся к конечным числам последовательностей, с тем же определением сложения и умножения на число, очевидно, также есть линейное множество. Множество С всех непрерывных на отрезке функций (действительных или комплексных), если считать, как обычно, что

есть тоже, очевидно, линейное множество.

Наконец, множество многочленов степени не выше есть также линейное множество, если понимать их сложение и умножение на число в обычном смысле.

В списке аксиом ничего не говорится явно о вычитании элементов. На самом деле это понятие возникает на основе этих аксиом. В самом деле,

Полагая получим

Теперь определяем разность как такой элемент что

Очевидно, потому что

Другого такого элемента нет, потому что если бы

то

т. е.