§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция

По определению левой окрестностью точки (числа) а называется произвольный полуинтервал а правой окрестностью а называется произвольный полуинтервал Окрестностью ("точки") естественно считать (полубесконечный) интервал а окрестностью — интервал где в обоих случаях произвольное (конечное) число. Можно еще говорить, что окрестности суть соответственно левая и правая окрестности

На основе этих определений вводится понятие правого и левого предела функции в точке а (конечной и бесконечной). Например, говорят, что А есть правый предел в точке а (конечнойили бесконечной), если определена в некоторой правой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для любого можно указать такую правую окрестность а, что для всех принадлежащих к ней а выполняется неравенство

Впрочем, правый (левый) предел всю обычно называют пределом при

Можно еще дать другое определение правого предела функции в точке. Говорят, что функция имеет правый предел в точке а (конечной или бесконечной), равный числу А, если она определена на некоторой правой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для любой сходящейся к а последовательности значения которой не равны а и принадлежат к указанной правой окрестности.

Тот факт, что оба сформулированные определения правого предела эквивалентны, доказывается совершенно аналогично тому, как это делается в случае предела (см. § 4.1).

Сказанное понятным образом переносится на понятие левого предела. Вообще, теоремы § 4.1 о пределах по аналогии переносятся на правые и левые пределы.

Если а — конечная точка, то правый и левый пределы в ней записываются соответственно так:

Пользуясь определением пределов на "языке легко доказать, что для того, чтобы имела предел в конечной точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовали правый и левый пределы в этой точке и были равны между собой, и тогда

Пределы при часто записывают соответственно так:

Здесь, как в случае конечной точки, имеет место очевидное утверждение: для того чтобы существовал предел при необходимо и

достаточно, чтобы существовали и были равны между собой пределы при и тогда

До сих пор мы говорили о конечных пределах функции (А было конечно) но можно по аналогии ввести пределы:

Например, последнее из этих четырех соотношений выражает, что функция определена для всех меньших некоторого числа (т. е. на некоторой окрестности ), и, каково бы ни было положительное число найдется такое число что для всех имеет место

Односторонние пределы, т.е. пределы справа и слева, имеют большое значение при рассмотрении монотонных функций.

Пусть множество действительных чисел (точек прямой). Функция определенная на называется неубывающей (неевзрастающей) на если из того, что следует, что (соответственно ).

Неубывающие и невозрастающие на функции носят общее название монотонных функций на

Теорема 1. Пусть функция не убывает на интервале где, в частности, может быть Если она ограничена сверху числом то существует предел (конечный) Если же она не ограничена сверху, то

Доказательство. Из ограниченности следует существование конечной точной верхней грани Таким образом, для всех и для всякого существует такое, что Но в силу того, что не убывает, Таким образом, для любого можно указать такое, что для всех удовлетворяющих неравенствам Это и значит, что

Пусть теперь неубывающая функция не ограничена сверху. Тогда для любого существует такое, что и вследствие того, что не убывает на

а это и говорит о том, что

По образцу доказанной теоремы легко доказывается и Теорема 2. Если функция не убывает на где может быть ограничена снизу числом то существует (конечный) предел функции в точке справа:

Если же функция не ограничена снизу, то

Читатель может самостоятельно видоизменить формулировки и доказательства подобных теорем для невозрастающей на функции. Пример 1. На отрезке [0, 2] задана функция

Ясно, что она однозначна и монотонна на [0, 2]. Легко видеть, что

Теорема 3. Если функция не убывает на отрезке то в каждой точке существуют пределы и выполняются неравенства

Существуют также пределы удовлетворяющие неравенствам

Эта теорема немедленно следует из предыдущих теорем, если учесть, что из ее условий вытекает, что функция не убывает на каждом из отрезков

Можно ввести понятие непрерывности функции в точке справа и слева.

Функция называется непрерывной в точке а (конечной) справа (слева), если существует (соответственно если существует ).

Если для функции в точке а (конечной) имеют смысл оба числа (конечные) и если она все же разрывна в а, то говорят, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке а.

Отметим, что если функция непрерывна как справа, так и слева в точке а, то она, очевидно, непрерывна в точке а. Можно еще сказать, что для того, чтобы функция была непрерывной, в точке а, необходимо и достаточно, чтобы три числа имели смысл и чтобы они были равны между собой.

Мы приводим для примера шесть графиков функций, имеющих разрыв первого рода в точке а. Буква А обозначает точку плоскости. Стрелка на конце куска кривой обозначает, что концевая точка, где находится стрелка, выброшена.

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Рис. 4.10

На рисунках 4.5-4.8 изображены графики функций для которых все три числа имеют смысл. На рис. 4.5 числа различны между собой; функция не только разрывна в а, но и разрывна справа и слева в а. На рис. непрерывна слева в а. На рис. 4.7 непрерывна справа в а. На рис. 4.8 имеет устранимый разрыв в а. На рис. 4.9 не определена в а. На рис. 4.10 не определена в а, но можно доопределить в а так, что она будет непрерывной в а.

Заметим следующий важный факт. Если заданная на отрезке функция монотонна на нем (не убывает или не возрастает), то, какова бы ни была точка в ней функция либо непрерывна, ушбо имеет разрыв первого рода. Это утверждение есть

непосредственное следствие из теорем 1, 2 и определения понятия точки разрыва первого рода.

Если функция определена в окрестности точки а и имеет разрыв в а, не являющийся разрывом первого рода, то говорят, что она имеет в а разрыв второго рода. Например, функция, равная и нулю для имеет в точке разрыв второго рода. Функция

также имеет в точке разрыв второго рода, потому что хотя для нее и имеет смысл число

но не имеет смысла число