§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции

Функция Зададим положительное число Если натуральное число, то число определяется как произведение а из сомножителей, каждый из которых равен а, а число как арифметическое значение корня степени из а.

Если теперь ( целые) есть рациональная дробь, то по определению полагают

Доказательство второго равенства в этой цепи и того факта, что это определение приводит к тому же числу, если дробь будет записана в форме где произвольное натуральное число, известно читателю из элементарной алгебры.

Обозначим через множество всех рациональных чисел. Функция определена пока на этом множестве. В курсе элементарной математики доказывается на основании только аксиом числа I-IV групп, что имеет место свойство:

каковы бы ни были Там доказывается также неравенство

Но функцию можно доопределить на всех иррациональных точках так, что определенная таким образом на всей действительной оси продолженная функция, которую естественно обозначить снова через будет непрерывной всюду на Больше

того, для продолженной функции свойство (2) выполняется уже для всех

Начнем с того, что докажем вспомогательное неравенство (Бернулли).

Если натуральное число, где Поэтому, учитывая формулу бинома Ньютона, получим

Если теперь есть произвольное положительное рациональное число, удовлетворяющее неравенствам то можно подобрать такое натуральное число что Поэтому при

На основании этого неравенства, называемого неравенством Бернулли, получим

Зададим произвольное положительное рациональное число с и введем новое множество состоящее из всех которые удовлетворяют неравенству Из (3) следует:

где, таким образом, есть константа, не зависящая от рассматриваемых х, у, но зависящая от с.

Следовательно,

Пусть тогда

и, следовательно, имеет место

Так как с может быть любым числом, то мы доказали (6) для любых

Пусть теперь — любое иррациональное число . На основании критерия Коши существования предела для любого найдется такое что

Это показывает в силу (5), что имеет место неравенство

т.е. условие Коши для последовательности чисел Но тогда существует предел этой последовательности, который обозначим через

Найденный предел не зависит от выбранной нами последовательности Ведь если другая последовательность, для которой то

Итак, функция определена для любых х. Для рациональных х посредством формулы (1) и для иррациональных х формулой (7).

Пусть теперь любые действительные числа, Тогда

Перейдем в полученном неравенстве к пределу при Так как и функция непрерывна, то получим

при Из неравенства (9) непосредственно следует, что функция непрерывна для любого следовательно, и для любого потому что с можно считать произвольным. Имеют место свойства:

Чтобы доказать эти свойства, будем исходить из того, что для рациональных они известны из школьного курса элементарной алгебры.

Пусть постоянные рациональные числа такие, что и пусть переменные такие, что возрастая, и убывая. Тогда а после перехода к пределу и мы получили (11) и (10), потому что Свойства (12) следуют из того, что это верно в случае, когда или пробегая рациональные значения, и из доказанной уже монотонности (см. (11)). Наконец, (13) следует из равенства после перехода в нем к пределу.

До сих пор мы считали Если то полагаем 1

В этом случае свойство (13) функции и ее непрерывность сохраняются, но теперь уже функция будет строго убывать. Наконец, полагаем

Отметим еще, что при натуральном

поэтому для рационального числа

Далее, если у — произвольное число , где рациональные, то

и мы доказали, что

Функция Пусть для определенности Тогда есть функция, непрерывная и строго возрастающая на всей действительной оси. При этом

Таким образом, функция отображает действительную ось на открытую полуось и обратная к ней функция по теореме 2 § 4.5

однозначна, строго возрастает и непрерывна на Эта функция называется логарифмом у при основании и обозначается так:

Из сказанного следует, что (мы заменяем у на )

При рассуждения аналогичны. Функция также отображает действительную ось на полуось но строго убывая. Обратная функция определенная на также будет строго убывать, и теперь

Имеют место тождества

Отсюда на основании свойств функции х при имеем

Если в этом равенстве заменить х на то получим

Далее,

поэтому

Наконец, отметим, что для положительных не равных 1 чисел а и b имеет место

и, следовательно,

Логарифм числа а при основании называется натуральным логарифмом числа а и обозначается так: