§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Пусть функция задана на множестве Говорят, что она непрерывна в точке на множестве если для любой последовательности точек сходящейся к

Заметим, что согласно данному определению любая функция, определенная на непрерывна в изолированных точках

Точка называется изолированной, если существует шарик с центром в не содержащий в себе других точек кроме Поэтому если задано, что то это может быть, лишь если для некоторого будет для всех но тогда

Если функция определенная на непрерывна в любой точке А, то говорят, что непрерывна на А.

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобщают соответствующие свойства непрерывных функций от одной переменной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А, ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на тогда для любого натурального к найдется такая точка что

Полученная последовательность ограничена. Из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке Вследствие замкнутости А точка принадлежит А, а в силу непрерывности на и мы получили противоречие с неравенствами (2).

Теорема 2. Функция непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А, достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что ограничена на А. Поэтому она имеет на А конечные точные нижнюю и верхнюю грани:

Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального к найдется точка такая, что

Полученная последовательность ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке . В силу замкнутости А точка принадлежит силу непрерывности на . С другой стороны, из (3) следует, что этот предел должен равняться числу Но тогда

Аналогично доказывается существование точки в которой достигает минимума на А:

Рассмотрим снова пока произвольное множество и определенную на нем не обязательно непрерывную функцию но ограниченную на А. Зададим число и введем величину

называемую модулем непрерывности на множестве А. В правой части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей значений соответствующих всевозможным парам точек отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем

Модуль непрерывности есть функция от очевидно, неотрицательная. Она не убывает, потому что если

Поэтому существует предел

Введем определение.

1) Функция называется равномерно непрерывной, на множестве А, если ее модуль непрерывности на А стремится к нулю при т. е.

Приведем другое эквивалентное определение.

2) Функция называется равномерно непрерывной на А, если для любого найдется такое что для любых имеет место Определение 1) влечет за собой 2).

Потому что из 1) следует, что для любого найдется такое что

Обратно, если имеет место 2), то, задав и подобрав так, как это сказано в 2), получим

и так как монотонно не убывает, то отсюда следует (6), т. е. 1). Докажем теперь важную теорему.

Теорема 4. Функция непрерывная на ограниченном замкнутом множестве А, равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое, что для любого натурального к найдется пара точек

для которых

В силу ограниченности последовательности и замкнутости А существует подпоследовательность сходящаяся к некоторой точке . В силу (7) тогда и и потому вследствие непрерывности

что противоречит (8).

Пример 1. Функция (Дирихле), равная нулю на рациональных точках отрезка [0,1] и единице на иррациональных, разрывна во всех точках [0,1] относительно [0,1], но это не мешает ей быть непрерывной на множестве А рациональных точек (относительно А) так же, как на множестве иррациональных точек.

Упражнения.

(см. скан)