§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14
Рассматриваем операцию
Зададим произвольную точку 
и куб 
:
с ребром 
Положим
и, пользуясь теоремой о среднем, операцию 
запишем равенствами
где 
значение 
в некоторой точке 
Вводим еще другую (линейную) операцию
определяемую равенствами
где 
Для точек 
имеет место
откуда
потому что
Таким образом,
где константа 
не зависит от 
Полагаем
Пусть х и у — любые точки, принадлежащие А. Точка 
определяется равенствами (4), а точка 
равенствами
Но тогда
В частности, получилось, что ребра А длины 
переходят посредством 
в ребра параллелепипеда 
длины, не большей 
(порядка К).
Рис. 12.14
Рис. 12.15
Рассмотрим плоский случай 
Кубик А в этом случае есть квадрат. Он переходит при помощи операции 
в параллелограмм 
(см. рис. 12.14 и рис. 12.15), определяемый векторами
Длины их имеют порядок
(см. (7), но это видно и непосредственно из (8)). Площадь 
равна
Элементарными методами аналитической геометрии устанавливаем, что при помощи операций 
квадрат А отображается на параллелограмм 
Открытое ядро А переходит на открытое ядро 
а граница А — на границу 
Аналогично, операция А отображает А на некоторое множество А (рис. 12.15), называемое криволинейным параллелепипедом. При этом открытое ядро А переходит в открытое ядро А, а граница А — в границу А (взаимно однозначно). Если 
на 
то это утверждение следует из § 7.18. В общем случае 
потребовались бы дальнейшие тонкие рассуждения, которые мы опускаем (см. 4-е издание этой книги, т. II, § 12.17).
Границы 
обозначим соответственно через 
Если 
то 
При этом 
Следовательно, х находится в круге радиуса 
с центром 
Рис. 12.16
Отсюда следует, что 
принадлежит множеству 
которое определяется как объединение всех кругов радиуса 
с центрами в точках 
Множество 
представляет собой содержащую 
рамку, закругленную в углах 
(рис. 12.16). Такая рамка существует для любого А во всяком случае, если высоты 
параллелограмма 
удовлетворяют неравенствам
На рис. 12.16 изображен такой параллелограмм 
Площадь 
оценивается следующим образом:
Один из множителей 
во втором члене суммы заменен на константу. Имеем
Остается рассмотреть случай, когда (9) не выполняется. Пусть, например, 
Тогда
или
Таким образом, равенство (12) верно в любом случае 
Наконец, (12) можно заменить на равенство
где 
любая точка в А, потому что такая замена изменяет первый член правой части (13) на величину порядка 
Ведь, например,
В трехмерном случае 
рамка 
состоит из шести утолщенных граней, общий объем которых не больше 
плюс объем округлений (ребер и вершин), имеющий порядок 
Это показывает, что при некотором 
Дальше рассуждения ведутся так же, как при получении (12).
Итак, во всех возможных случаях имеет место равенство (2). При этом константа, входящая в остаток правой его части, не зависит от 
Из примечаний, которые делались попутно, видно, что доказательство в общем случае 
совершенно аналогично.
