§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14
Рассматриваем операцию
Зададим произвольную точку
и куб
:
с ребром
Положим
и, пользуясь теоремой о среднем, операцию
запишем равенствами
где
значение
в некоторой точке
Вводим еще другую (линейную) операцию
определяемую равенствами
где
Для точек
имеет место
откуда
потому что
Таким образом,
где константа
не зависит от
Полагаем
Пусть х и у — любые точки, принадлежащие А. Точка
определяется равенствами (4), а точка
равенствами
Но тогда
В частности, получилось, что ребра А длины
переходят посредством
в ребра параллелепипеда
длины, не большей
(порядка К).
Рис. 12.14
Рис. 12.15
Рассмотрим плоский случай
Кубик А в этом случае есть квадрат. Он переходит при помощи операции
в параллелограмм
(см. рис. 12.14 и рис. 12.15), определяемый векторами
Длины их имеют порядок
(см. (7), но это видно и непосредственно из (8)). Площадь
равна
Элементарными методами аналитической геометрии устанавливаем, что при помощи операций
квадрат А отображается на параллелограмм
Открытое ядро А переходит на открытое ядро
а граница А — на границу
Аналогично, операция А отображает А на некоторое множество А (рис. 12.15), называемое криволинейным параллелепипедом. При этом открытое ядро А переходит в открытое ядро А, а граница А — в границу А (взаимно однозначно). Если
на
то это утверждение следует из § 7.18. В общем случае
потребовались бы дальнейшие тонкие рассуждения, которые мы опускаем (см. 4-е издание этой книги, т. II, § 12.17).
Границы
обозначим соответственно через
Если
то
При этом
Следовательно, х находится в круге радиуса
с центром
Рис. 12.16
Отсюда следует, что
принадлежит множеству
которое определяется как объединение всех кругов радиуса
с центрами в точках
Множество
представляет собой содержащую
рамку, закругленную в углах
(рис. 12.16). Такая рамка существует для любого А во всяком случае, если высоты
параллелограмма
удовлетворяют неравенствам
На рис. 12.16 изображен такой параллелограмм
Площадь
оценивается следующим образом:
Один из множителей
во втором члене суммы заменен на константу. Имеем
Остается рассмотреть случай, когда (9) не выполняется. Пусть, например,
Тогда
или
Таким образом, равенство (12) верно в любом случае
Наконец, (12) можно заменить на равенство
где
любая точка в А, потому что такая замена изменяет первый член правой части (13) на величину порядка
Ведь, например,
В трехмерном случае
рамка
состоит из шести утолщенных граней, общий объем которых не больше
плюс объем округлений (ребер и вершин), имеющий порядок
Это показывает, что при некотором
Дальше рассуждения ведутся так же, как при получении (12).
Итак, во всех возможных случаях имеет место равенство (2). При этом константа, входящая в остаток правой его части, не зависит от
Из примечаний, которые делались попутно, видно, что доказательство в общем случае
совершенно аналогично.