§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд

Рассмотрим интеграл с единственной особенностью в точке

Пусть Тогда можно определить ряд

k-й член которого равен .

Теорема 1. Если интеграл (1) сходится, то сходится также ряд (2) и имеет место равенство

Действительно,

Если неотрицательна, то сходимость ряда (2) влечет сходимость интеграла (1). В самом деле, пусть ряд сходится и имеет сумму, равную Для любого где можно указать такое по, что для Поэтому, учитывая, что

т. е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный интеграл (1) существует. Но тогда, как доказано выше, справедливо равенство (3).

Если же функция не сохраняет знак на то из сходимости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла. Например, ряд

сходится, интеграл же расходится, потому что функция от х

не стремится к пределу при

Теорема 2. Если функция непрерывна и не возрастает на то интеграл

в ряд

одновременно сходятся или одновременно расходятся. Доказательство. Имеют место неравенства

Суммируя их по k, получим

Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании монотонно не убывают, следует утверждение теоремы.

Из доказанной теоремы следует, что ряд

сходится при и расходится при , потому что функция при непрерывна и монотонно убывает на , а

В случае а непосредственно видно, что ряд (5) расходится. При ряд (5) (расходящийся) называется гармоническим рядом.

Пример 1.

потому что

а гармонический ряд (с членами ) расходится. Пример 2. Рассмотрим интеграл

Он имеет единственную особенность в . При он абсолютно сходится:

потому что

При интеграл (7) абсолютно не сходится потому, что

Последнее соотношение доказывается рассуждениями, подобными (6).

Но интеграл (7) все же для сходится (не абсолютно). Действительно, применяя интегрирование по частям, получим

Первый член правой части при имеет при конечный предел, второй член есть сумма интегралов

Но

поэтому стремится к конечному пределу при для любого и вопрос свелся к исследованию

Интеграл при сходится одновременно с интегралом

(см. замечание 1 в конце § 9.13) в силу того, что интеграл (8) одновременно сходится с интегралом

(см. предыдущую теорему).

Итак, предел при существует только при поэтому и интеграл (7) сходится только при