§ 2.4. Основные свойства действительных чисел

Эти свойства могут быть доказаны на основании определений действительных чисел, понятий и арифметических операций над ними. С другой стороны, эти свойства можно рассматривать как аксиомы действительного числа, непротиворечивые (совместные), потому что они верны для бесконечных десятичных дробей.

I. Свойства порядка.

I1. Для каждой пары действительных чисел имеет место одно и только одно соотношение:

I2. Из следует (транзитивное свойство знака ).

I3. Если то найдется такое число с, что .

II. Свойства действий сложения и вычитания.

II1. (переместительное или коммутативное свойство).

II2. (a + b) + с = a + (b + с) (сочетательное или ассоциативное свойство).

II5. Из следует, что для любого .

III. Свойства действий умножения и деления.

III1. (переместительное или коммутативное свойство).

III2. (сочетательное или ассоциативное свойство).

III5. (распределительный или дистрибутивный закон).

III6. Из следует .

IV. Архимедово свойство.

Каково бы ни было число существует натуральное . В самом деле, если то можно взять

Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств следует, что, каково бы ни было положительное число всегда можно указать такое натуральное что выполняется неравенство

В самом деле, согласно IV для числа можно указать натуральное такое, что что в силу влечет нужное неравенство.

Заметим, что для данного числа с в ряду целых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное для которого выполняются неравенства

V. Свойство существования предела у неубывающей ограниченной последовательности положительных чисел (см. замечание 1 ниже).

Если последовательность положительных чисел

не убывает и ограничена сверху числом то существует действительное число а, не превышающее к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

Это значит, что для всякого найдется натуральное число по такое, что для всех

Доказательство. Каждый элемент последовательности (1) разложим в бесконечную десятичную дробь, не имеющую периода 9:

Последовательность чисел (3) ограничена сверху числом и не убывает, поэтому на основании леммы 1 из § 2.3 последовательность десятичных дробей (3) стабилизируется к некоторому числу :

Но тогда стремится к как к своему пределу:

В самом деле, для любого найдется натуральное такое, что Так как стабилизируется к , то найдется по такое, что при первые компонент чисел уже стабилизированы:

т.е. равны соответственно первым компонентам числа . Но тогда

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Из следует более общее чем V свойство, утверждающее, что всякая монотонная, т.е. неубывающая или невозрастающая, ограниченная последовательность не обязательно положительных чисел имеет предел (конечный; см. далее § 3.4).

Пусть есть множество всех рациональных чисел. В свойства I-IV выполняются, однако свойство V не всегда выполняется, как показывает следующий пример.

Пример 1. Пусть есть произвольное положительное иррациональное число, а

— его срезки. Числа а рациональные и образуют ограниченную сверху числом а последовательность. При этом их десятичные разложения стабилизируются к десятичному разложению числа . Но тогда, как мы знаем,

Таким образом, числа принадлежат но предел их последовательности не принадлежит , а если учесть, что предел у последовательности может быть только один (см. далее § 3.1), то получим: для свойство V, вообще говоря, не выполняется.