§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [a, b]

Теорема 1. Если функция непрерывна на то она интегрируема на

Доказательство. Пусть непрерывна на тогда для разбиения которого частичные отрезки имеет место

где есть модуль непрерывности на

Поэтому

Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке функции поэтому для любого можно указать такое что

В силу основной теоремы интеграл на существует.

Теорема 2. Функция, определенная на отрезке и монотонная на нем, интегрируема на нем.

Пусть для определенности не убывает; тогда для произвольного разбиения имеем Поэтому при

если достаточно мало, и на основании теоремы 3 получим, что интегрируема на