§ 9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках

Пусть задан, пока формально, интеграл

где интервал может быть конечными бесконечным. Предположим, что интервал можно разбить точками на конечное число частичных интервалов таких, что каждый из интегралов

имеет только одну особенность на одном из концов

Тогда если все несобственные интегралы (2) существуют (сходятся), то по определению считают существующим (сходящимся) и интеграл (1). При этом полагают

Если хотя бы один из интегралов (2) не сходится, то и интеграл (1) считается расходящимся (не существующим).

Аналогично, интеграл (1) называется абсолютно сходящимся тогда и только тогда, если все интегралы (2) абсолютно сходятся.

Интеграл имеет единственную особенность в точке . Он не существует, потому что не существуют отдельно интегралы и

не существуют отдельно пределы от при

Итак, несобственный интеграл по Риману от функции на отрезке [-1,1] не существует. Однако существует одно важное обобщение несобственного интеграла (в смысле главного значения — по Коши), в силу которого указанный интеграл понимается как предел

Здесь сокращенная запись выражения Principal Value (анг.) — главное значение (см. § 16.7, (5)).