§ 4.5. Обратная функция

Зададим какую-либо функцию на произвольном множестве чисел (точек на прямой) и обозначим через образ (см. § 1.3).

Каждому приведем в соответствие множество всех для которых Это не пустое множество, обозначим его через

Таким образом, на определена функция вообще говоря, многозначная. Функция называется обратной функцией по отношению к

Важно выделить тот случай, когда обратная функция однозначна. Это всегда имеет место, если функция строго монотонна, т.е. строго возрастает или строго убывает на области своего определения.

Функция называется строго возрастающей (убывающей) на если из того, что следует, что (соответственно ).

Если есть строго возрастающая (убывающая) функция на то обратная ей функция очевидно, также однозначная, строго возрастающая (убывающая) на образе функция.

В этом случае, очевидно, имеют место тождества:

При этом удобно обозначать обратную к функцию символом

Теорема 1. Пусть есть непрерывная строго возрастающая на отрезке функция и

Тогда образ есть отрезок и обратная к функция однозначна, строго возрастает и непрерывна на

В этой теореме можно заменить "возрастающая" на "убывающая", и тогда в ее заключении надо заменить на

Доказательство. Пусть По условию и так как функция непрерывна на то и любая точка принадлежит (см. следствие теоремы 3 § 4.4 о промежуточных значениях непрерывной функции).

Если точка у не принадлежит то вследствие строгой монотонности она не может быть образом какой-либо точки Этим доказано, что образ отрезка при помощи есть отрезок То, что обратная определенная на функция однозначна и строго монотонна, следует непосредственно из строгой монотонности на Остается доказать непрерывность в любой точке

Пусть есть внутренняя точка т.е. , мы уже знаем, соответствует единственная точка такая, что или

Зададим положительное число которое будем считать настолько малым, что и пусть Из строгой монотонности следует, что для любого соответствующее значение принадлежит интервалу

Таким образом, доказано, что для всякого достаточно малого именно такого, что можно подобрать окрестность точки такую, что Для всех

Сформулированное здесь свойство функции доказано для достаточно малых Но тогда оно, очевидно, верно и для любых Это свойство выражает тот факт, что функция непрерывна в точке у.

Для концевой точки соответствующая точка -Полагаем и тогда, очевидно, будем иметь Для всех

В этом же духе рассматривается случай

Пример 1. Функция непрерывна и строго возрастает на отрезке Образом этого отрезка посредством функции является отрезок На основании доказанной теоремы существует определенная на отрезке обратная к однозначная непрерывная строго возрастающая функция

Для функции рассматриваемой на всей действительной оси, обратная функция, как известно, уже многозначна:

т.е. каждому соответствует множество значений определяемых формулой (1).

Теорема 2. Пусть есть непрерывная строго возрастающая на интервале функция, и пусть

где, в частности, может быть

Тогда образ есть интервал и обратная к функция однозначна, строго возрастает и непрерывна на

Замечание. В этой теореме можно слова "возрастающая", "возрастает" заменить на "убывающая", "убывает", но тогда образ будет

Из определения числа В непосредственно следует, что если оно конечно, то точка не может принадлежать образу Но и число В тоже не может принадлежать иначе существовала бы точка такая, что и так как на интервале можно определить точку то в силу строгой монотонности мы получили бы что противоречит определению

Подобным образом доказывается, что и число А не принадлежит если оно конечно. Итак, образ принадлежит Но на самом деле эти два множества совпадают. Действительно, пусть Тогда в силу определений (2) должны найтись такие что

и вследствие строгого возрастания должно быть Но функция непрерывна на тем более на и когда пробегает отрезок сама она должна пробегать все значения между следовательно, и значение

Это значит, что существует значение (единственное в силу строгой монотонности ) такое, что Этим доказано, что образ интервала есть интервал и что определенная выше функция есть обратная к функция.

Функция непрерывна в точке у, потому что можно также рассматривать как обратную функцию к функции определенной на указанном отрезке а к этой последней можно применить предыдущую теорему. Тот факт, что строго возрастает, очевиден. Теорема доказана.

Примечание. В теореме 2 интервалы можно соответственно заменить на полуинтервалы, например на и тогда — конечные числа.

Пример 2. Пусть натуральное число. Арифметическим значением корня степени из а называется положительное число, степень которого равна а. Это число обозначается так:

Существование и единственность этого числа вытекает из следующих соображений. Функция

непрерывна и строго возрастает на полуинтервале образом ее является точка полуинтервала На основании теоремы 2 и примечания к ней функция имеет обратную однозначную и непрерывную функцию строго возрастающую, равную нулю при и стремящуюся к вместе с у.

Таким образом, каково бы ни было существует единственное положительное число такое, что Но тогда

В частности, если считать то мы доказали существование и единственность арифметического значения корня степени из .