§ 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций

Функция Для этой функции

Поэтому формула Тейлора по степеням х функции с остатком в форме

Лагранжа имеет вид

Если положить в ней то получим приближенное выражение для

с ошибкой При любом

и при

Функция Для этой функции

Формула Тейлора по степеням с остаточным членом Лагранжа имеет вид

Остаток стремится к нулю при для любого

Функция . Для этой функции

Формула Тейлора по степеням х с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

Остаток ведет себя, как и в случае

Особенно хорошо стремятся к нулю остатки функций при Заметим, что численные значения этих функций как раз достаточно знать для дуг х в пределах между числом и числом

Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Ее формулу Тейлора по степеням можно написать для при Так как

то формула Тейлора имеет вид

При этом для остатка запишем две формы — форму Лагранжа:

и форму Коши:

Пусть тогда, обращаясь к форме Лагранжа, получим Мы видим, что при остаток стремится к нулю быстро, при стремление к нулю происходит очень медленно.

В случае форма Лагранжа не дает возможности сделать определенное заключение о стремлении к нулю, потому что мы знаем только, что в удовлетворяет неравенствам При этом не надо забывать, что в зависит от Но, применяя форму Коши, получим, считая, что оценку

потому что

При функция не имеет смысла. При формула при любом имеет смысл, однако ее остаточный член теперь уже не стремится к нулю при

Итак, остаточный член формулы Тейлора функции по степеням х стремится при к нулю только при удовлетворяющих неравенствам

Функция Для этой функции

Формула Тейлора по степеням имеет вид

При этом остаток в форме Лагранжа записывается так:

а в форме Коши

При натуральном и любом все члены формулы, начиная с исчезают и формула Тейлора превращается в элементарную формулу Ньютона (см. § 5.9, (6)).

Для остальных формула имеет смысл, во всяком случае при

Пусть Тогда, если воспользоваться формулой Лагранжа, получим для

(см. ниже замечание).

Если же то, воспользовавшись формулой Коши, получим (см. ниже замечание)

где С — число, вообще, зависящее от но не зависящее от потому что и при

а при

Таким образом, остаточный член формулы Тейлора функции при — стремится к нулю при При остаточный член уже не стремится к нулю

Случаи мы не рассматриваем. Скажем только, что в этих случаях остаточный член зависит от При функция вообще не имеет смысла. Замечание. Для

где произвольное действительное число, имеет место

Но тогда, как докажет это читатель, при

(впрочем, см. § 11.3, теорема 2).

Ниже приводятся часто встречающиеся примеры приложения формулы Пеано: