§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби

В этом параграфе мы будем рассматривать произвольную действительную рациональную функцию

представляющую собой правильную дробь. Это значит, что действительные многочлены, причем степень меньше степени Будем считать, что имеет степень степень следовательно, При этом мы будем считать, что действительная переменная, таким образом, есть действительная функция. Для краткости будем обозначать через соответственно степени многочленов

Лемма 1. Пусть — действительный корень кратности к знаменателя дроби (1):

Тогда существует и притом единственное разложение дроби (1) в виде

где А — постоянная, а второй член (3) — правильная дробь.

При этом А — действительное число, а действительный многочлен.

Единственность разложения (3) заключается в том, что существуют единственные число А и многочлен для которых имеет место (3).

Доказательство. Допустим, что разложение (3) имеет место, где А — некоторое постоянное число, а непрерывная функция. Приведя правую часть (3) к общему знаменателю и приравнивая полученный числитель к числителю левой части (3), получим равенство

(верное не только для значений для которых но вследствие непрерывности левой и правой частей (4) и для всех действительных Положив в нем а и учитывая, что получим

число А действительное, потому что действительные многочлены и а действительное. Подставив найденное значение А в (4), находим (единственным образом)

Так как числитель (6) есть многочлен, где А подобрано так, чтобы он обращался в нуль при то он делится на есть многочлен (действительный). По условию Тогда в силу т.е. меньше степени знаменателя второй дроби правой части (3), следовательно, эта дробь правильная.

Обратно, если число А и многочлен определяются по формулам (5), (6), то, очевидно, выполняется равенство (3).

Замечание. Для произвольной не обязательно действительной правильной дроби (1) и комплексного а лемма 1 полностью верна, за исключением последнего ее утверждения — теперь уже число А, вообще, комплексное, так же, как есть не обязательно действительная функция.

Лемма 2. Пусть представляется в виде

где действительные, к натуральное и многочлен (действительный), не имеющий своими корнями корни

Тогда существует единственное разложение дроби (1) в виде

где постоянные, а вторая дробь в правой части (8) правильная. Числа и многочлен действительные.

Доказательство. Обозначим через корни многочлена Из условия леммы следует, что они еще являются корнями кратности к нашего действительного многочлена Допустим, что разложение (8) имеет место. Приведем правую часть (8) к общему знаменателю и приравняем числитель полученной дроби числителю левой части (8). В результате получим тождество

Подставив в него числа , получим

или

(по условию Определитель полученной системы, которую надо решить относительно не равен нулю:

Поэтому система разрешима; при этом действительные числа. В последнем можно убедиться, не решая системы (10). Возьмем сопряженные величины от обеих частей уравнений (10):

Системы (10) и (10) равносильны, поэтому их (единственные) решения также должны совпадать: Но тогда действительные.

Подставляем теперь в (9) полученные числа и находим, что

Так как числитель полученной дроби обращается в нуль в корнях (так были подобраны ), то он делится на знаменатель без остатка и есть многочлен, очевидно, действительный. Не представляет труда выяснить, что вторая дробь в правой части (8) правильная. Лемма доказана.

С помощью лемм 1 и 2 нам удастся разложить нашу действительную дробь в конечную сумму так называемых простейших рациональных дробей. Напомним, что так как есть действительный многочлен степени то для него, как было доказано в предыдущем параграфе, справедливо разложение на множители вида § 8.4, (10). Пользуясь леммой 1 и леммой 2, на основании этого разложения можно утверждать, что наша правильная дробь может быть записана последовательно в виде (пояснения ниже)

где константы с соответствующими индексами единственные и действительные.

Соотношение (11) получено на основании леммы 1; при этом многочлен (действительный) определен из равенства

Переход от (11) к (12) снова осуществляется при помощи леммы 1, что законно, потому что вторая дробь в правой части (11) действительная и правильная и . В (13) процесс выделения простейших дробей, соответствующих действительному корню закончился, дальше точками отмечается продолжение этого процесса для других действительных корней, а затем для комплексных корней где уже последовательно применяется лемма 2.

Конечно, этот процесс мы изобразили в общем случае, так как могло, например, случиться, что простых корней вовсе нет, тогда наш процесс сразу же начался бы с применения леммы 2.

Единственность чисел в разложении (14) пока полностью не доказана, потому что нахождение их было связано с определенным процессом. Быть может, при другом способе определения эти числа будут другими? Мы изложим ниже метод нахождения путем сравнения коэффициентов. При обосновании его выяснится, что эти числа образуют единственную систему.

Мы уже доказали, применяя леммы 1 и 2, что при данном многочлене каков бы ни был многочлен где существует система чисел для которой имеет место тождество (14) (для всех действительных , отличных от корней ). Приведем (14) к общему знаменателю, соберем коэффициенты при одинаковых степенях и полученные линейные комбинации из приравняем коэффициентам многочлена имеющим соответственно одинаковые степени. В результате получим систему из линейных уравнений относительно неизвестных Количество уравнений и неизвестных здесь совпадает. Уже известно, что эта система имеет решение для любого многочлена (т.е. для любой правой части системы!) — мы это доказали при помощи лемм 1 и 2. Поэтому определитель системы заведомо не равен нулю и, следовательно, числа образуют единственную систему.

Пример 1. На основании сказанного выше имеет место равенство

Точнее, для любого многочлена третьей степени существуют постоянные такие, что для всех выполняется равенство (16). Чтобы найти эти постоянные, приведем правую часть (16) к общему наименьшему знаменателю. Числители обеих частей полученного равенства должны быть равны:

для но вследствие непрерывности функций, входящих в это равенство, и для Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим линейную систему из четырех уравнений с четырьма неизвестными

Мы уже знаем, что для любых эта система имеет решение, но тогда, как известно из теории линейных уравнений, числа решающие систему, единственны.