§ 6.9. Основной триэдр кривой

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве x,y,z задана гладкая кривая определяемая вектор-функцией

от длины Предполагается, что в точке имеет вторую производную

отличную от нуля:

На рис. 6.6 изображена кривая . В точке соответствующей значению проведена касательная к направленная в сторону возрастания На отмечен единичный вектор касательной

Надо помнить, что для гладкой кривой

поэтому, дифференцируя это равенство (по получим

что показывает, что векторы ортогональны (перпендикулярны)

Вектор (выпущенный из точки А) называется вектором главной нормали к в ее точке (или s).

Любая прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной называется нормалью к кривой (в ее точке). Совокупность этих нормалей заполняет плоскость, называемую нормальной плоскостью в ее точке А). Но среди этих нормалей выделяется специальная нормаль главная нормаль к на которой лежит вектор При этом направлена в ту же сторону, что и вектор (см. рис. 6.6).

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Введем вектор

— единичный вектор главной нормали, и еще третий единичный вектор

— единичный вектор бинормали.

Согласно свойствам векторного произведения вектор перпендикулярен к векторам и направлен так, чтобы тройка векторов была ориентирована так же, как рассматриваемая прямоугольная система координат . В данном случае взята левая система соответственно система тоже левая.

Таким образом, выходящие из точки векторы

являются соответственно векторами касательной, главной нормали и бинормали в точке

Нормируя эти векторы, получим

— единичные векторы соответственно касательной, главной нормали, бинормали.

Плоскость называют соприкасающейся плоскостью, нормальной плоскостью, — спрямляющей плоскостью (к Г в ее точке А).

Векторы образуют подвижный триэдр кривой Когда точка А движется по кривой связанный с А триэдр тоже движется поступательно и вращаясь.

Однако, зафиксировав точку соответствующую определенному значению параметра, с помощью соответствующего триэдра можно изучать достаточно малый кусочек а содержащий в себе точку или, как говорят, изучать для значений из малой окрестности точки

Вектор разложим по ортам

Будем предполагать, что гладкий вектор имеет непрерывную вторую производную по в окрестности точки и по-прежнему считать, что

Тогда автоматически координаты вектора функции будут иметь вторую непрерывную производную в этой окрестности. Вектор обращается в нуль при соответственно

Пример 1. Будем писать

Имеем

Так как то в окрестности производная строго возрастающая непрерывная функция в некоторой окрестности и равенство обратимо: Но тогда в этой окрестности — функции от :

Обе функции можно дифференцировать с помощью параметра :

Функция описывает проекцию на соприкасающуюся плоскость. Равенства (11) (и еще ) показывают, что эта проекция касается касательной в точке и обращена своей вогнутостью в сторону главной нормали (см. рис. 6.8). Малый кусок содержащий А, находится полностью с одной стороны спрямляющей плоскости, именно со стороны Кривая есть проекция малого куска содержащего А, на спрямляющую плоскость . Оказалось, что две производные от этой функции в точке А равны нулю — первая и вторая.

Рис. 6.8

Рис. 6.9

Рис. 6.10

Если допустить, что вектор-функция имеет три непрерывные производные, то можно было бы вычислить и третью производную

Если что часто бывает, то наша проекция будет касаться в точке А, но с перегибом (см. рис. 6.9). Сама кривая таким образом, плавно пересечет соприкасающуюся плоскость, касаясь ее.

Проекция на спрямляющую плоскость обычно имеет вид, как на рис. 6.10 (доказательство см. в 4-ом издании книги автора "Курс математического анализа", § 6.10).