§ 11.13. Степенные ряды функций e^z, cos z, sinz комплексной переменной

Функции комплексной переменной 2 определяются как суммы рядов:

Эти ряды сходятся для любого комплексного потому что радиус сходимости каждого из них равен Таким образом, функции определены на всей комплексной плоскости. Для действительных это определение приводит к известным действительным функциям (см. § 5.11).

Функция обладает важным функциональным свойством:

для любых комплексных (см. пример в § 11.9). Очевидно, что

для любого комплексного z.

Равенства (6) называются формулами Эйлера. Из (6) и (4) следуют обобщения известных тригонометрических формул:

теперь уже справедливых для комплексных ни. Наконец, из (4) следует, что при

Функция от комплексной переменной определяется как обратная функция к функции

Если записать в показательной форме:

то равенство (8) запишется в виде

Поэтому

где понимается в обычном смысле. Из (9) видно, что есть многозначная функция от вместе с независимо от того, будет ли действительным или комплексным.

Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного переменного) равен одному из чисел

В действительном анализе для выражения выбирают среди этих чисел единственное действительное число 0.

Но мы не будем углубляться дальше в теорию функций комплексного переменного — это не наша задача. Сделаем только замечание по поводу формулы

которая была выведена в § 5.11 для действительных х. Если подставить в ряд в правой части (10) вместо х комплексное то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма равна так как мы его определили выше, точнее, равна одной из однозначных ветвей многозначной функции

Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ряды (ряды Тейлора), называются аналитическими функциями. Они изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических функций или теорией функций комплексного переменного.

В заключение отметим, что если в степенном ряде (по степеням и)

с кругом сходимости положить где фиксированное число (вообще говоря, комплексное), то получим ряд

называемый степенным рядом по степеням Он сходится в круге (сходимости) и расходится для удовлетворяющих неравенству