§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема

Пусть есть n-мерное пространство. При первом чтении читатель может считать, что или но рассуждения и формулировки в этом параграфе вполне аналогичны и при любом натуральном в том числе и при

Пусть задано измеримое (следовательно, ограниченное) по Жордану -мерном смысле) множество на котором определена ограниченная функция:

Множество может быть разбито на части (измеримые по Жордану и пересекающиеся разве что по своим границам) различными способами. Пусть два таких разбиения:

Условимся говорить, что есть продолжение и писать если любое частичное множество разбиения есть часть одного из частичных множеств разбиения Иначе говоря, разбиение получается из если некоторые множества разбиения в свою очередь разбить на конечное число частей:

Таким образом, разбиение состоит из слагаемых кратной суммы

Зададим разбиение Ему соответствует интегральная сумма функции

Мы будем пользоваться как первой, так и второй приведенными записями

Таким образом, есть одно из множеств Положим

Суммы называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами функции (соответствующими разбиению р).

Для произвольной точки справедливы неравенства Поэтому, учитывая, что имеем

откуда

Таким образом, любая (независимо от выбора точек интегральная сумма функции соответствующая разбиению находится между ее нижней и верхней интегральными суммами, соответствующими тому же разбиению

Другое важное свойство верхних и нижних сумм заключается в том, что если то имеют место неравенства

Второе из них уже доказано.

Чтобы убедиться в справедливости, например, четвертого неравенства, запишем в виде

где

Для сравнения сумму можно записать подобным образом:

Теперь ясно, что потому что из вложения следует, что

Пусть теперь разбиения есть новое разбиение, полученное наложением на Тогда есть продолжение

Таким образом,

каковы бы ни были разбиения

Если зафиксировать и менять произвольно (которое мы желаем обозначить через то получим

А теперь, варьируя разбиения (обозначаемые через р), получим

Числа называются соответственно верхним и нижним интегралами функции на Из приведенных рассуждений следует, что для произвольной ограниченной на функции нижний и верхний интегралы на существуют. Докажем важную теорему.

Теорема 1 (основная). Пусть есть измеримое множество (т. е. измеримое в n-мерном смысле по Жордану), на котором определена ограниченная функция Тогда следующие утверждения эквивалентны:

2) для всякого найдется такое разбиение что

3) для всякого найдется такое, что для всех разбиений с диаметрами имеет место неравенство (5);

4) существует интеграл

При этом

Здесь, конечно, подразумевается, что нижний и верхний интегралы от на нижняя и верхняя интегральные суммы соответствующие разбиению

Эту теорему можно перефразировать так: для того чтобы существовал интеграл от на необходимо и достаточно выполнения одного из условий При этом величина интеграла равна

Доказательство. Для любого найдутся разбиения такие, что

Тогда для

откуда из 1) следует (5), т.е. 2).

2) - 3). Это самая нетривиальная часть теоремы, утверждающая, что если для любого найдется зависящее от него разбиение

для которого то также найдется такое, что для всех разбиений выполняется неравенство (5).

Обозначим через объединение всех граничных точек каково бы ни было Оно имеет меру нуль измеримы), и потому можно определить фигуру покрывающую такую, что Введем еще новую фигуру содержащую строго внутри себя но такую, что

Пусть есть настолько малое положительное число, что расстояние между любыми двумя точками границ больше, чем Тем более расстояние любой точки до границы больше, чем

Зададим какое-нибудь разбиение на которое наложено единственное условие, что все его частичные множествам имеют диаметр (нам удобно будет их писать без индексов так же, как соответствующие им и ). Имеем

где сумма распространена на все частичные множества разбиения каждое из которых содержит в себе одну из точек Так как то все такие с а и их общая мера не превышает Поэтому

Сумму запишем в виде кратной суммы где обозначает сумму слагаемых соответствующих частичным множествам и

разбиения попавшим полностью в частичное множество старого разбиения Имеем

Поэтому для всех разбиений т. е. имеет место 3).

3) - 4). Пусть имеет место 3). Зададим и подберем так, как указано в 3). Тогда для разбиений , о которых говорится в 3),

и так как выполняется (5), где любое, то и

т.е. I есть интеграл от на . Мы доказали 4).

Из 4) следует, что для любого найдутся и разбиение (для нашей цели достаточно одного такие, что

при любом выборе .

Таким образом, для любых Но

Поэтому

откуда

Так как любое, то

Мы доказали, что из 4) следует 1).

Теорема 2. Пусть задана последовательность разбиений измеримого множества и ограниченная функция на

Существование предела

при любом выборе влечет существование интеграла от по равного числу

Доказательство. Из (13) следует, что для любого и некоторого имеет место (9). Но из (9), как мы видели, следует (12), т.е. свойство 1) основной теоремы, следовательно, существование интеграла от по

Замечание. Теорема 2 упрощает понимание кратного интеграла от ограниченной на измеримом множестве функции

Мы можем, например, ввести сетку, разрезающую на кубики А с ребром длины и использовать только целые кубики, попавшие в (см. ниже теорему 3), и интеграл от по определить как предел

Если этот предел существует при любом выборе то он и равен интегралу от по т. е. не надо проверять существование подобного предела для любой другой последовательности разбиений он автоматически существует и равен

Теорема 3. Имеет место равенство

где в сумме оставлены члены с частными множествами не прилегающими к границе множества

Мы называем множество ил прилегающим к если множество и непусто.

Доказательство. Так как то можно покрыть фигурой имеющей меру

Раздав фигуру получим новую фигуру такую, чтобы

Пусть толщина зазора между и границей Тогда если то все прилегающие к множества попадут в и сумма слагаемых в (13), соответствующих таким оценивается так:

т. е.