§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии
Теорема 1. Функция 
непрерывная на замкнутом измеримом по Жордану множестве 
интегрируема по Риману на 
Доказательство. Так как множество 
измеримо, то оно ограничено. Кроме того, оно замкнуто, поэтому непрерывная на 
функция 
равномерно непрерывна на 
Это значит, что для любого 
существует такое 
что если 
, то 
Пусть 
есть произвольное разбиение 
на измеримые части с диаметром 
и пусть, как всегда, 
Тогда
потому что расстояние между любыми точками 
не превышает по условию 
Следовательно,
где 
задано, 
достаточно мало, 
есть модуль непрерывности функции 
заданной на ограниченном замкнутом множестве 
Поэтому 
Рис. 12.4
Теорема 2. Функция 
ограниченная на измеримом замкнутом множестве 
и непрерывная на 
за исключением точек, образующих множество 
меры нуль, интегрируема на 
На рис. 12.4 множество 
состоит из точки 
и куска гладкой кривой (см. 4-е издание этой книги, § 12.6, теорема 2).
Пример 1. Рассмотрим функцию 
на полуоткрытом прямоугольнике 
Чтобы применить к ней теорему 2, будем рассуждать так. Доопределим 
на отрезке 
оси х и отрезке 
оси у какими-нибудь значениями, однако ограниченными в совокупности. Продолженная таким образом на замкнутый прямоугольник 
функция 
ограничена на А и непрерывна всюду на А, за исключением множества (состоящего из указанных двух отрезков) жордановой двумерной меры нуль. Но тогда по теореме 2 существует интеграл
