§ 5.3. Производная функции от функции

Теорема. Пусть задана функция от функции где При этом функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке у.

Тогда существует производная от в точке равная

Доказательство. Так как функция имеет производную в точке у, то она дифференцируема в этой точке (см. предыдущий параграф), т.е.

Будем считать, что Равенство (2) при таком соглашении останется верным

Зададим приращение независимой переменной Оно влечет за собой определенное приращение функции которое, в свою очередь, влечет за собой приращение функции выраженное через по формуле (2).

Но полученное число есть в то же время приращение функции соответствующее взятому нами приращению в точке

Разделив обе части равенства (2) на получим

Перейдя теперь к пределу при получим производную

Заметим, что соглашение было сделано на тот случай, когда при некоторых будет

Формула (1) может быть усложнена. Например, если и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то

Пример 1. Чтобы вычислить производную по переменной от функции вводим цепочку вспомогательных функций:

Тогда

Функции

называются соответственно гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом. Очевидно,