§ 7.2. Предел функции

Доопределению функция имеет предел в точке равный числу А, обозначаемый так:

(пишут еще ), если она определена на некоторой окрестности точки за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к последовательность точек из указанной окрестности отличных от (см. § 6.3).

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция имеет в точке предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, ее самой, и для любого найдется такое что

для всех х, удовлетворяющих неравенствам

В этом определении можно заменить неравенства (4) на следующие:

или сказать, что для любого найдется окрестность такая, что для всех принадлежащих к ней выполняется (3).

Эквивалентность первого и второго определений предела и его единственность в n-мерном случае доказывается аналогично тому, как это делалось в одномерном случае (см. § 4.1).

Сформулируем критерий Коши существования предела (доказываемый, как в одномерном случае; см. § 4.1, теорема 5).

Для того чтобы функция имела в точке предел (конечный), необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлась окрестность (в частности, куб или шар с центром в ) такая, чтобы для всех отличных от имело место неравенство

Очевидно, что если число А есть предел то А есть предел функции от в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию заданную во всех точках окрестности точки кроме, быть может, точки пусть произвольный вектор длины единица скаляр. Точки вида образуют выходящий из луч в направлении вектора Для каждого и) можно рассматривать функцию

от скалярной переменной где есть число, зависящее от Предел этой функции (от одной переменной t)

если он существует, естественно назвать пределом в точке по направлению вектора и.

В частности, если единичный орт направленный по оси то можно говорить о пределе в точке по направлению положительной полуоси

или отрицательной полуоси

Из того что функция имеет в точке предел, равный А, следует, очевидно, что она имеет в этой точке предел, равный А, и по любому направлению. Но обратное утверждение неверно — функция может иметь предел в равный А, по любому направлению и в то же время не иметь предела в

Пример 1. Пусть

Функции определены на плоскости (х,у), за исключением точки (0,0). Имеем

откуда

(для полагаем и тогда , если только ). Далее, считая, что постоянная, имеем

откуда видно, что пределы в по разным направлениям вообще различны. Поэтому не имеет предела в

Пример 2. В плоскости определим спираль где радиус-вектор, а — полярный угол. Пусть определяется следующим образом (рис. 7.1): для линейна на любом отрезке, соединяющем точку (0,0) с точкой спирали. Легко видеть, что какова бы ни была точка т.е. существует равный 1 предел в по любому направлению, между тем как предел в не существует. Ведь если приближаться к точке по кривой, находящейся между спиралью и осью х в первой четверти плоскости то вдоль этой кривой

Рис. 7.1

Будем писать если функция определена в некоторой окрестности за исключением, быть может, и для всякого найдется такое, что коль скоро

Можно говорить о пределе когда

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого можно указать такое что для точек х, для которых функция определена и имеет место неравенство Справедливы равенства

где, может быть, При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы Докажем для примера (7).

Пусть тогда

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность произвольна, то он равен пределу функции в точке

Теорема 1. Если функция имеет предел, не равный нулю в точке

то существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам

она удовлетворяет неравенству

Больше того, она сохраняет там знак А.

В самом деле, положив найдем такое, чтобы для х, удовлетворяющих неравенствам (10), выполнялось

Поэтому для таких т.е. имеет место (11).

Из (12) для указанных х следует:

откуда при при (сохранение знака).

Замечание. В § 7.11 будет дано более общее определение предела функции, заданной на произвольном множестве.