§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского

Пусть есть пространство, где задана прямоугольная система координат область с кусочно гладкой границей и на определено поле вектора

Мы будем предполагать, что непрерывны на откуда следует, что для вектора а имеет смысл непрерывная функция

называемая дивергенцией вектора .

Будем считать, что поверхность ориентирована при помощи единичной нормали направленной во внешность Целью нашей будет доказательство равенства

при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на Это равенство называют формулой Гаусса-Остроградского по имени математиков, ее доказавших.

Формула Гаусса-Остроградского говорит, что объемный интеграл от дивергенции вектора по области равен потоку вектора через границу этой области, ориентированную в направлении ее внешней нормали.

Рис. 13.20

Начнем с того, что рассмотрим область изображенную на рис. 13.20, которую мы будем называть элементарной -областью. Сверху и снизу ограничена поверхностями (с кусочно гладкими краями), определяемыми соответственно уравнениями

где — плоская область с (кусочно гладкой) границей непрерывны на имеют непрерывные частные производные на открытом множестве . С боков ограничена цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей, параллельной оси

Пусть есть граница ориентированная при помощи внешней к нормали. Тем самым нижний и верхний куски так же как боковая повехность области соответственно ориентированы. Для области имеют место равенства (пояснения ниже)

Нормаль образует с осью соответственно тупой и острый углы, поэтому проекции кусков на плоскость ориентированы: первая отрицательно, а вторая положительно. Это обосновывает переход от третьего члена цепи (4) к четвертому. К сумме, составляющей четвертый член, можно формально добавить интеграл

равный нулю, потому что вдоль Но тогда полученная сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в качестве последнего члена цепи (4) (потоку вектора ) через . В формуле (3) звездочка при опущена.

Этим мы доказали теорему Гаусса-Остроградского для элементарной -области и вектора

Назовем теперь область -областью, если ее замыкание можно разрезать на конечное число замыканий элементарных областей:

так, что нижний и верхний куски границы суть части ориентированной границы области и докажем, что для и вектора тоже справедлива теорема Гаусса-Остроградского.

В самом деле, обозначим соответственно через нижние и верхние куски границ и через боковые куски Тогда (пояснения ниже)

потому что интегралы по очевидно, равны нулю, а куски к и к либо составляют в совокупности поверхность либо, если это не так, множество

есть часть нормаль в любой точке которой перпендикулярна оси Но тогда интеграл по а равен нулю.

По аналогии можно ввести понятия -области и -области. Например, -область обладает тем свойством, что ее замыкание можно разрезать на конечное число замыканий элементарных -областей. Элементарная же -область определяется так же, как элементарная -область, только роль теперь играет х. По аналогии доказывается, что для -области имеет место равенство

т. е. формула Гаусса-Остроградского для вектора , а для -области формула

Если теперь есть одновременно и -область, то для нее, очевидно, верна теорема Гаусса-Остроградского для произвольного непрерывно дифференцируемого на вектора т.е. верно равенство

где интеграл справа есть интеграл по поверхности ориентированной внешней нормалью к

Если в формуле Гаусса-Остроградского положить то получим выражение для объема области

через интеграл по ее ориентированной (внешней нормалью) границе

Области, с которыми приходится обычно иметь дело, являются одновременно и -областями.

Пример 1. Шар есть -область, даже элементарная -область, потому что вся его внутренность ограничена двумя лежащими друг над другом гладкими на поверхностями непрерывными на замкнутом круге имеющем гладкую границу. Очевидно, шар есть также и -область.

Пример 2. Возьмем тор полученный вращением заданного в плоскости круга вокруг оси у. Чтобы убедиться в том, что есть -область, достаточно поверхность разделить на две части плоскостью . Далее, плоскости рассекают на четыре элементарные -области, а плоскости на четыре элементарные -области.

Формула Гаусса-Остроградского преобразует объемный интеграл в интеграл по поверхности. В следующем параграфе доказывается формула Стокса, при помощи которой при определенных условиях интеграл по поверхности преобразуется в криволинейный интеграл.

Чтобы выяснить физическое значение понятия дивергенции, будем считать, что в имеет место стационарное течение жидкости, скорость которой в произвольной точке равна Зададим произвольную, но фиксированную точку и окружим ее шаром радиуса Пусть есть его граница (шаровая поверхность), ориентированная посредством внешней нормали. Тогда на основании формулы Гаусса-Остроградского

Левая часть этого равенства выражает количество жидкости, вытекающей из (вовне ) за единицу времени.

Применяя к правой его части теорему о среднем, получим

где есть объем скорость жидкости в некоторой точке из Разделив обе части полученного равенства на и перейдя к пределу при получим в силу непрерывности что существует предел, равный дивергенции а:

в точке Таким образом, представляет собой производительность источников, непрерывно распределенных по в точке Если в точке А (или всюду на то это значит, что в А (или всюду на ) производительность источников равна нулю. Если то это означает, что на самом деле в соответствующей точке имеет место сток.

Из физических соображений ясно, что а есть инвариант относительно любых преобразований прямоугольных координат. Но это заключение можно сделать и на основании математических соображений, если учесть, что поток вектора через поверхность есть инвариант.

Этим доказано, что если одно и то же поле вектора определяется в двух прямоугольных системах координат соответственно функциями

то в одной и той же точке

Конечно, это утверждение можно доказать непосредственно, не прибегая к теореме Гаусса-Остроградского.

Дивергенцию а можно рассматривать еще как (символическое) скалярное произведение оператора V Гамильтона на вектор а:

С этой точки зрения указанную инвариантность можно доказать следующим образом: V и а — векторы, а скалярное произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных координат, поэтому этим свойством обладает и дивергенция

Формулу Гаусса-Остроградского можно записать в плоском случае, когда есть область в плоскости х,у и а определенное на ней поле. Если есть внешняя нормаль к кусочно гладкому контуру области то имеет место равенство

где дифференциал дуги .

Если считать, что направление касательной в точке контура совпадает с положительным направлением обхода по вдоль которого исчисляется также длина дуги контура то

Поэтому

Если в этой формуле заменить соответственно на то мы придем к формуле Грина, которая уже была получена в § 13.5.

Пусть есть ограниченная область с гладкой дважды непрерывно дифференцируемой границей — часть ограниченная поверхностью точки которой отстоят от по направлению нормали к на расстоянии (см. § 7.25). Пусть еще задано поле вектора , непрерывного на и имеющего непрерывные частные производные на . Вблизи границы последние могут быть неограниченными. Будем считать, что область при достаточно малом удовлетворяет требованиям, которые предъявляются к областям, чтобы для них была верна теорема Гаусса-Остроградского.

В этом случае формула Гаусса-Остроградского

остается верной, если ее левую часть понимать в следующем несобственном смысле:

Доказательство см. в 4-ом издании этой книги, § 13.10.

Вектор а называется соленоидалъным в области если

Для того чтобы вектор а был соленоидальным в необходимо и достаточно, чтобы поток вектора а через любую замкнутую ориентированную поверхность был равен нулю.

Необходимость следует из теоремы Гаусса-Остроградского, примененной к области внутренней к

Достаточность следует из формулы (7), где интеграл справа равен нулю для любого что влечет (10).