Доказательство. Так как 
то функция 
всюду непрерывна. Далее, из того, что 
, следует, что 
но тогда 
и
Дифференцирование под знаком интеграла законно, потому что в силу неравенства
интеграл (3) равномерно сходится относительно 
кроме того, подынтегральная функция в (3) непрерывна по 
Теорема доказана.
непрерывная локально кусочно гладкая функция 
Тогда 
имеет непрерывную производную (т. е. на самом деле она гладкая), равную
