§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Пусть есть непрерывная кусочно гладкая функция периода . К ее ненулевым коэффициентам Фурье можно применить формулу интегрирования по частям:

где

Мы воспользовались периодичностью функций и в силу которой

Производная есть кусочно непрерывная периода функция, возможно, разрывная с конечным числом разрывов первого рода на периоде. Она конечна, принадлежит и для нее имеют смысл числа комплексные коэффициенты Фурье

Если функция периода непрерывна и имеет непрерывную кусочно гладкую производную порядка то процесс (1) интегрирования по частям можно провести I раз. В результате получим равенство

где

— коэффициенты Фурье функции производной от порядка Имеет место важная теорема.

Теорема 1. Если ряд Фурье непрерывной, периода кусочно гладкой функции

почленно продифференцировать, то получится ряд Фурье ее производной

Здесь обозначает, что в ряде нет нулевого коэффициента.

Доказательство. В самом деле, вообще кусочно непрерывная функция, имеющая разрывы там, где имеет разрывы производной, но в точках разрыва существуют пределы Такая функция может быть разложена в ряд Фурье:

возможно, и не сходящийся к ней во многих точках. При этом

потому что непрерывная функция периода . С другой стороны, для всех к имеет место равенство (1), и поэтому из (6) следует (5). Ряд (4) равномерно сходится к на основании теоремы 2 § 15.5.

Теорема 2. Если ряд Фурье кусочно непрерывной функции (с разрывами первого рода)

проинтегрировать почленно (считая, что интеграл от равен ), то получим равномерно сходящийся ряд Фурье непрерывной кусочно гладкой функции

где

В самом деле, в силу (9) функция непрерывная и кусочно гладкая на Кроме того, при периодическом продолжении она остается непрерывной. Ведь

потому что

и, следовательно, ряд Фурье равномерно сходится к откуда следует (8). С другой стороны, правая часть (8) может быть в силу (1) рассматриваема как результат указанного почленного интегрирования правой части (7).

Заметим, что на основании теоремы 2 § 15.5 ряд Фурье кусочно гладкой функции сходится к ней на всей действительной оси и притом равномерно. Поэтому в (8) написан знак равенства. Что же касается функции то она кусочно непрерывна (на отрезке Ее ряд Фурье может расходиться (см. § 15.5, текст перед (12)). Поэтому в (5) написан знак

Замечание. Теоремы 1 и 2 значительно расширяют в случае рядов Фурье известные читателю из общей теории рядов критерии законности почленного их дифференцирования и интегрирования. Но возможно и дальнейшее расширение этих критериев не только с помощью аппарата интеграла Лебега, но и еще путем введения понятия обобщенной функции (см. далее § 16.11).

Упражения.

1. Доказать, что если функция периода имеет непрерывную кусочно гладкую производную порядка то ее можно представить в виде

где

2. Пользуясь тем, что

и, таким образом, показать, что при любом на отрезке представляет собой многочлен степени I такой, что интеграл от него по равен нулю и

Эти многочлены называются многочленами Бернулли.