§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость

Соприкасающуюся плоскость к гладкой кривой в ее точке А мы уже определили в § 6.9 как плоскость, проходящую через (выпущенные из векторы при условии, что

Но если гладкая кривая задана вектором при помощи любого допустимого параметра то, как мы увидим ниже, соприкасающуюся плоскость к можно определить так же, как плоскость, проходящую через векторы при условии, что

В самом деле, учитывая, что (см. § 6.8), получим

Равенство (1) показывает, что есть линейная комбинация перпендикулярных векторов При этом заметим, что коэффициент

при в правой части (1) положителен что показывает, что в соприкасающейся плоскости векторы расположены по одну сторону от касательной (см. рис. 6.11). Имеем далее

потому что

Равенство (2) показывает, что векторы, перпендикулярные отличаются только положительным множителем Это лишний раз показывает, что плоскость векторов совпадает с плоскостью векторов ведь обе они проходят через точку

Таким образом, вектор так же, как вектор определяет соприкасающуюся плоскость (в точке А).

Зададим теперь фиксированную точку определяемую вектором Будем также писать

Рис. 6.11

Пусть далее есть текущий вектор соприкасающейся плоскости к в . Тогда векторное уравнение ее запишется в виде

Оно выражает, что вектор лежащий в плоскости, перпендикулярен к вектору перпендикулярному этой плоскости. В декартовых координатах уравнение (3) записывается в виде

где текущие координаты соприкасающейся плоскости в ее точке,