Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Кривизной окружности радиуса называется число Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Это определение дает идею определения кривизны, пригодного для произвольных гладких кривых.
Рассмотрим гладкую кривую (рис. 6.12). Она спрямляема, и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги Угол
между (положительными) направлениями касательных к дуге в ее точках называется углом смежности дуги Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (см. рис. 6.12). Наконец, кривизной кривой в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине когда последняя стремится к нулю:
Таким образом, По определению величина (где считается, что называется радиусом кривизны в точке А.
Из векторной алгебры известно, что
так как Знаменатель здесь не равен нулю, потому что у гладкой кривой При знаменатель стремится к а числитель стремится к нулю. Введем длину дуги нашей кривой. Длина куска равна Из следует потому что допустимые параметры гладкой кривой (см. § 6.7).
Рис. 6.12
Будем теперь предполагать, что радиус-вектор нашей гладкой кривой имеет вторую производную и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке А (определяемой параметром
В силу (1), (2) кривизна в точке равна (пояснения ниже)
т. е.
В третьем члене (3) мы заменили на под знаком предела. Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последовательности значений соответствующие значения больше нуля, то и применима теорема 2 из § 4.10, если же значения равны нулю, начиная с некоторого, то для них и снова верно второе равенство (3).
Если параметр есть длина дуги то, как мы знаем, и вектор перпендикулярен к поэтому (см. третий член (4))
В плоском случае выражение кривизны через координаты выглядит так:
Мы уже пользовались обозначением (см. § 6.9).
Если плоская кривая задана уравнением где функция в окрестности точки х имеет непрерывную производную и в самой точке вторую производную, то, полагая в последней формуле получим
называется число 
Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Это определение дает идею определения кривизны, пригодного для произвольных гладких кривых.
(рис. 6.12). Она спрямляема, и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги 
Угол 
называется углом смежности дуги 
Отношение угла смежности дуги 
к ее длине называется средней кривизной дуги 
(см. рис. 6.12). Наконец, кривизной кривой 
в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности 
дуги 
кривой к ее длине 
когда последняя стремится к нулю:
По определению величина 
(где считается, что 
называется радиусом кривизны 
в точке А.
Знаменатель здесь не равен нулю, потому что у гладкой кривой 
При 
знаменатель стремится к 
а числитель стремится к нулю. Введем длину дуги 
нашей кривой. Длина куска 
равна 
Из 
следует 
потому что 
допустимые параметры гладкой кривой (см. § 6.7).
нашей гладкой кривой 
имеет вторую производную 
и при этом условии докажем существование конечной кривизны 
в точке А (определяемой параметром 
в точке 
равна (пояснения ниже)
на 
под знаком предела. Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последовательности значений 
соответствующие значения 
больше нуля, то 
и применима теорема 2 из § 4.10, если же значения 
равны нулю, начиная с некоторого, то для них 
и снова верно второе равенство (3).
есть длина дуги 
то, как мы знаем, 
и вектор 
перпендикулярен к 
поэтому (см. третий член (4))
выражение кривизны через координаты выглядит так:
(см. § 6.9).
где функция 
в окрестности точки х имеет непрерывную производную и в самой точке вторую производную, то, полагая в последней формуле 
получим
