Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой
Кривизной окружности радиуса называется число Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Это определение дает идею определения кривизны, пригодного для произвольных гладких кривых.
Рассмотрим гладкую кривую (рис. 6.12). Она спрямляема, и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги Угол
между (положительными) направлениями касательных к дуге в ее точках называется углом смежности дуги Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (см. рис. 6.12). Наконец, кривизной кривой в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине когда последняя стремится к нулю:
Таким образом, По определению величина (где считается, что называется радиусом кривизны в точке А.
Из векторной алгебры известно, что
так как Знаменатель здесь не равен нулю, потому что у гладкой кривой При знаменатель стремится к а числитель стремится к нулю. Введем длину дуги нашей кривой. Длина куска равна Из следует потому что допустимые параметры гладкой кривой (см. § 6.7).
Рис. 6.12
Будем теперь предполагать, что радиус-вектор нашей гладкой кривой имеет вторую производную и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке А (определяемой параметром
В силу (1), (2) кривизна в точке равна (пояснения ниже)
т. е.
В третьем члене (3) мы заменили на под знаком предела. Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последовательности значений соответствующие значения больше нуля, то и применима теорема 2 из § 4.10, если же значения равны нулю, начиная с некоторого, то для них и снова верно второе равенство (3).
Если параметр есть длина дуги то, как мы знаем, и вектор перпендикулярен к поэтому (см. третий член (4))
В плоском случае выражение кривизны через координаты выглядит так:
Мы уже пользовались обозначением (см. § 6.9).
Если плоская кривая задана уравнением где функция в окрестности точки х имеет непрерывную производную и в самой точке вторую производную, то, полагая в последней формуле получим
называется число 
Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Это определение дает идею определения кривизны, пригодного для произвольных гладких кривых.
(рис. 6.12). Она спрямляема, и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги 
Угол 
называется углом смежности дуги 
Отношение угла смежности дуги 
к ее длине называется средней кривизной дуги 
(см. рис. 6.12). Наконец, кривизной кривой 
в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности 
дуги 
кривой к ее длине 
когда последняя стремится к нулю:
По определению величина 
(где считается, что 
называется радиусом кривизны 
в точке А.
Знаменатель здесь не равен нулю, потому что у гладкой кривой 
При 
знаменатель стремится к 
а числитель стремится к нулю. Введем длину дуги 
нашей кривой. Длина куска 
равна 
Из 
следует 
потому что 
допустимые параметры гладкой кривой (см. § 6.7).
нашей гладкой кривой 
имеет вторую производную 
и при этом условии докажем существование конечной кривизны 
в точке А (определяемой параметром 
в точке 
равна (пояснения ниже)
на 
под знаком предела. Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последовательности значений 
соответствующие значения 
больше нуля, то 
и применима теорема 2 из § 4.10, если же значения 
равны нулю, начиная с некоторого, то для них 
и снова верно второе равенство (3).
есть длина дуги 
то, как мы знаем, 
и вектор 
перпендикулярен к 
поэтому (см. третий член (4))
выражение кривизны через координаты выглядит так:
(см. § 6.9).
где функция 
в окрестности точки х имеет непрерывную производную и в самой точке вторую производную, то, полагая в последней формуле 
получим
