Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 5.1. Производная

Перед чтением этой главы мы рекомендуем читателю прочесть еще раз § 1.5, где говорилось о том, как возникает понятие производной. А сейчас мы начинаем сразу с формального определения производной.

Производной от функции в точке называется предел, к которому стремится отношение ее приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Заметим, что при фиксированном х величина есть вполне определенная функция от

Если функция определена в некоторой окрестности точки то функция определена для достаточно малых, не равных нулю , т.е. для , удовлетворяющих неравенству где достаточно малое положительное число. При она заведомо не определена. Вопрос о существовании производной функции в точке эквивалентен вопросу о существовании предела функции в точке

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из существования конечного предела (1) следует, что

где при Отсюда

и

А это последнее равенство выражает то, что функция в точке х непрерывна.

Утверждение, обратное теореме 1, не верно: если функция непрерывна в точке то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке (см. ниже).

Говорят, что функция имеет в точке х бесконечную производную, равную или — (случай исключается), если в этой точке или соответственно

Наконец, введем понятия правой и левой производной от функции в точке

Для того чтобы существовала производная очевидно, необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от в точке х справа и слева и были равны между собой, тогда автоматически они равны

Это утверждение верно также, если в нем термин "производная" заменить на "бесконечная производная".

Функция, изображенная на рис. 5.1, а, имеет производную в точке график в этой точке имеет (см. § 1.5) касательную (единственную). Функция, изображенная на рис. 5.1, б, не имеет производной, но существуют о) и не равные друг другу. Функции, изображенные на рис. имеют бесконечные производные соответственно, а функции на рис. не имеют производных в точке . В случае рис. 5.1, д, , а в случае рис.

Рис. 5.1

Надо иметь в виду, что производная от функции в точке х есть функция от х. С этой точки зрения обозначение является весьма удобным, обозначает число — производную от функции в точке а.

В § 1.5 были выведены формулы (1)-(3) производной от от Ниже выводится производная от показательной функции

Здесь мы воспользовались подстановкой и тем фактом, что функция и для в частности при непрерывна.

Если в последнем равенстве положить то получим

Рассмотрим функцию (рис. 5.2)

При

Производная от в точке не существует, потому что правая производная в этой точке отлична от левой; в остальных точках производная от существует и равна

Рис. 5.2

Из рассмотрения графика видно, что функция непрерывна для любого в том числе и в точке Это видно также из следующих выкладок:

Функция интересна тем, что она непрерывна для любого но имеется такое значение именно для которого она не имеет производной. В точке графика этой функции не существует касательной.

Пример функции показывает, что обратное теореме 1 утверждение не верно.

В математике известны примеры функций непрерывных на отрезке и не имеющих производной ни в одной точке этого отрезка (функция Вейерштрасса). Их графики невозможно нарисовать, но они могут быть заданы с помощью некоторых формул. Эти примеры мы не приводим здесь.

Пример 1. Функция

разрывна во всех точках но в точке имеет производную потому что для рациональных для иррациональных

Пример 2. Функция

непрерывна на для всех она имеет производную, но в точке она не имеет даже правой производной и левой, потому что величина не имеет предела, когда оставаясь положительным или отрицательным.

Если функции и имеют производные в точке то их сумма, разность, произведение и частное (при условии, что имеют производные и справедливы равенства

Доказательство (4) приведено в § 1.5. Докажем (5), (6). Придадим независимой переменной приращение . Пусть соответствующие приращения будут Тогда

потому что из того, что имеет производную, следует, что она непрерывна, т.е. что при .

В частности, если С — постоянная, то потому что

Докажем (6):

Несколько основных формул дифференцирования.

Более общая формула:

Таким образом, справедлива формула

обобщающая формулу (1) из § 1.5 на любые целые

Дальше мы увидим, что она остается верной и для нецелых