Глава 13. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода

Пусть в трехмерном пространстве где определена прямоугольная система координат x, y, z, задана непрерывная кусочно гладкая кривая Г:

где параметром служит длина дуги Таким образом, функции непрерывны на и отрезок можно разбить на конечное число частей

так, что на каждом (замкнутом) частичном отрезке функции имеют непрерывные производные, удовлетворяющие условию

считая, что в концевых точках они понимаются соответственно как правая и левая производные. Кривая соответственно делится на конечное число гладких кусков: Пусть еще на или на некотором множестве, содержащем задана функция непрерывная на каждом гладком куске т. е. функция если имеет разрывы, то только в точках и притом первого рода. По определению выражение

называется криволинейным интегралом первого рода от функции вдоль кривой (или по ).

Левая часть (3) есть обозначение криволинейного интеграла первого рода, а правая показывает, как его надо вычислять — это обычный риманов интеграл. Например, если кривая обладает массой с плотностью распределения, равной в точках то общая масса кривой вычисляется посредством интеграла (3).

Пусть теперь кривая гладкая и задана еще через параметр

где, таким образом, непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию на Пусть длина дуги кривой выражается через при помощи функции имеющей не равную нулю непрерывную производную, которую будем считать положительной, Тогда,

Кривую Г можно также задать уравнениями но величина интеграла (3) от этого не меняется:

Таким образом, криволинейный интеграл первого рода по Г не зависит от ориентации