§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции

Важнейшим свойством простого интеграла Фурье является тот факт, что при весьма общих условиях, налагаемых на порождающую его функцию он сходится к последней при т. е.

Это вытекает из доказываемой нами важной леммы, устанавливающей глубокую связь между интегралами и рядами Фурье.

В дальнейшем мы будем говорить о сходимости простого интеграла в произвольной фиксированной точке не оговаривая особо равномерные свойства сходимости.

Лемма. Пусть функция периода равная на интервале Тогда

где есть сумма Фурье функции в точке х.

Доказательство. Функция очевидно, принадлежит и потому для нее выполняется равенство (см. § 15.3, (3))

для любого фиксированного Так как

то главный член в правой части (3) полностью совпадает с главным членом правой части равенства

доказанного в § 16.1, (9). Но тогда

Введем теперь более узкий, чем класс функций. Считаем, что если и в любой точке выполняется равенство

В точках непрерывности равенство (5) выполняется автоматически, ведь в таких точках Что же касается точек разрыва функции это точки разрыва первого рода, и выполняется равенство (5).

Теорема. Для любой функции и любой точки х

Доказательство. Пусть заданная точка, для которой определяем функцию как в предыдущей теореме. Тогда периодическая периода совпадающая с на интервале функция будет кусочно гладкой в окрестности точки х и удовлетворяющей свойству (5). Поэтому сумма Фурье такой функции в точке х (§ 15.5, теорема 5) стремится при Следовательно (см. (2)),

Мы доказали равенство (6) в предположении, что при вычислении предела пробегает натуральные числа. Полученный результат может быть обобщен на тот случай, когда стремится к непрерывно.

Если учесть исходные формулы § 16.1, (9) и (12), для то для функции в любой точке х получим следующие равенства:

Замечание. Из (6) и § 16.1, (9) для следует