§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой

Пусть есть гладкая кривая, определенная функциями (см. § 6.5)

имеющими на непрерывные производные. Введем разбиение и составим сумму (см. § 6.8)

представляющую собой длину ломаной, вписанной в с вершинами в точках, соответствующих значениям

Имеем тогда

В первом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о среднем.

Чтобы обосновать, что при введем вспомогательную функцию

очевидно, непрерывную на кубе Модуль ее непрерывности на А обозначим через Так как расстояние между точками нашего куба не превышает то

и потому

Мы доказали, что длина гладкой кривой (1) существует и выражается формулой

При замене переменной при помощи непрерывно дифференцируемой функции получим, очевидно,

где что показывает инвариантность формулы (1) длины дуги.

Если кривая (плоская) задана уравнением

где имеет непрерывную производную на то, очевидно, ее длина дуги выражается формулой

(надо положить в ). Пример 1. Длина дуги винтовой линии

в силу (2) равна