§ 11.11. Степенные ряды

где постоянные, вообще говоря, комплексные числа, комплексная переменная, называется степенным рядом с коэффициентами

В теории степенных рядов центральное место занимает следующая основная теорема.

Теорема 1 (основная). Для степенного ряда (1) существует неотрицательное число конечное или бесконечное обладающее следующими свойствами:

1) ряд сходится и притом абсолютно в открытом круге и расходится в точках

2) число определяется по формуле

где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 3.7).

Мы позволяем себе при этом считать, что Таким образом, если указанный верхний предел равен , то если же он равен то

Открытый круг называется кругом сходимости степенного ряда. При он превращается во всю комплексную плоскость. При степенной ряд имеет только одну точку сходимости, именно точку

Замечание 1. Число удовлетворяющее утверждению 1) теоремы 1, очевидно, единственно.

Замечание 2. Если для степенного ряда (1) существует обычный предел то он равен верхнему пределу Поэтому в этом случае

Читатель, не ознакомившийся с понятием верхнего предела, может проследить за ходом доказательства теоремы 1, предположив, что для рассматриваемого степенного ряда указанный предел существует. В этом случае всюду в проводимых ниже рассуждениях надо заменить на

Доказательство теоремы 1. Пусть число определяется по формуле (2). В точке степенной ряд сходится, поэтому теорема при верна.

Будем далее считать, что Наряду с рядом (1) введем второй ряд, составленный из его модулей:

Общий член второго ряда обозначим через

Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см. § 11.3 теорема если то ряд (1) сходится, если же

то ряд (1) расходится и его общий член не ограничен. Но

Мы вынесли за знак верхнего предела конечное число что очевидно.

Из сказанного следует:

Если , т.е. то ряд сходится, а вместе с ним сходится и притом абсолютно ряд (1).

Если , т.е. то ряд (1) расходится и его общий член не ограничен, поэтому общий член ряда не стремится к нулю при и для него не выполняется необходимый признак (см. § 11.1, (4)). Это показывает, что ряд (1) расходится.

Итак, мы доказали, что определяемое из равенства (2) число обладает следующим свойством: если то ряд (1) сходится и при том абсолютно, если же то ряд (1) расходится. Основная теорема доказана.

Будем в дальнейшем для краткости обозначать через замкнутый круг комплексной плоскости. Заметим, что наш степенной ряд сходится на открытом круге вообще говоря, неравномерно. Однако верна следующая теорема.

Теорема 2. Степенной ряд (1) абсолютно и равномерно сходится на любом круге где радиус сходимости ряда (1).

Доказательство. В самом деле, пусть тогда есть действительная, т.е. лежащая на оси точка, принадлежащая открытому кругу сходимости ряда (1). Поэтому в этой точке наш степенной ряд абсолютно сходится, т.е. . С другой стороны,

Так как правые части этих неравенств не зависят от и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса (см. § 11.7, теорема 1) степенной ряд (1) сходится на абсолютно и равномерно.

Из теоремы 2 как следствие вытекает Теорема 3. Сумма

степенного ряда есть непрерывная функция на его открытом круге сходимости

В самом деле, члены нашего ряда — непрерывные функции от , а сам ряд равномерно сходится на круге Следовательно, по

известной теореме из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 11.7, теорема 2) сумма ряда есть непрерывная функция на но тогда и на всем круге потому что произвольно.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в нашем распоряжении имеется формула (2), но часто на практике при вычислении удобно бывает воспользоваться признаком Даламбера. Пусть существует предел (конечный или бесконечный)

который мы пока обозначим через Тогда (см. (3))

и согласно признаку Даламбера (§ 11.3, теорема 2) если то ряд (1), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если же то и ряд (1) расходится.

Но число с такими свойствами может быть единственным, поэтому (см. теорему 1).

Итак, мы доказали, что если существует предел (4), то он равен

где радиус сходимости степенного ряда (1).

Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел (4) (конечный или бесконечный) существует, то он равен верхнему пределу . На самом деле имеет место более сильное утверждение (см. 4-е издание этой книги, § 11.3, замечание 2): существование предела (4) (конечного или бесконечного) влечет за собой существование равного ему предела

Замечание 3. В учебной литературе обычно начинают изложение степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит:

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге , где любое число, удовлетворяющее неравенствам

Доказательство. Эта теорема теперь уже является следствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как есть точка сходимости ряда (1), то не может быть большим, чем Поэтому Но тогда по теореме 2 степенной ряд (1) сходится на круге абсолютно и равномерно.

Примеры.

С помощью формулы (2) заключаем, что радиус сходимости рядов (6) и (7) равен 1; для ряда (8) он равен и для ряда (9) равен

Сумма ряда (6) (геометрической прогрессии) в открытом круге равна а остаток

Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность сходимости имеет место уже для положительных на интервале неравенство

при любом заданном нельзя удовлетворить для всех указанных х.

Ряд (7) при равномерно сходится на замкнутом круге его сходимости, так как

Если же то в точке ряд (7), очевидно, расходится. Остальные точки запишем следующим образом:

и

Оба полученные ряда (по косинусам и по синусам) для сходятся (см. § 11.8, пример 3). Таким образом, ряд (7) сходится во всех точках окружности кроме

Ряд (8) сходится только в точке , а ряд (9) сходится во всех точках комплексной плоскости, притом равномерно на любом круге