§ 7.3. Непрерывная функция

По определению функция непрерывна в точке если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке и если предел ее в точке равен ее значению в ней:

Условие непрерывности в точке можно написать в эквивалентной форме:

т.е. функция непрерывна в точке если непрерывна функция от в точке

Можно ввести приращение в точке соответствующее приращению и на его языке определить непрерывность функция непрерывна в если

Из формул § 7.2 непосредственно следует Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке функций и есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного

Постоянную с можно рассматривать как функцию от Она непрерывна для любого х, потому что

Следующей по сложности является функция Она также непрерывна (как функция от Действительно, пусть тогда

Если производить над функциями и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от х, или На основании сформулированных выше свойств многочлены суть непрерывные функции на всех Отношение двух многочленов есть рациональная функция, очевидно, непрерывная всюду на за исключением точек х, где Функция

может служить примером многочлена от третьей степени. Вообще, имеет место очевидная

Теорема 2. Пусть непрерывная функция в точке пространства Если ее рассматривать как функцию

от то непрерывна относительно (в пространстве ) в любой точке вида где числа произвольны.

В самом деле, если то

Пусть есть целый неотрицательный вектор, т.е. имеющий неотрицательные целые компоненты Если точка то условимся о следующем обозначении:

Эта функция непрерывна для всех потому что она есть произведение конечного числа множителей вида каждый из которых есть непрерывная функция от х. Введем еще новое обозначение:

которое употребляют для целых неотрицательных векторов к и которое не надо путать с Составим сумму

распространенную на всевозможные векторы где постоянные коэффициенты, снабженные целочисленными векторными индексами k. Эта функция (очевидно, непрерывная) называется многочленом от х степени

Справедлива

Теорема 3. Пусть функция непрерывна в точке пространства (точек а функции непрерывны в точке пространства (точек ). Пусть, кроме того, Тогда функция

непрерывна (по u) в точке

Доказательство. Так как непрерывна в то для любого можно указать такое, что будет определена для всех х, для которых и для них будет выполняться неравенство и так как функции непрерывны в точке пространства то можно определить такое что для точек шара выполняются неравенства

Тогда выполняется также неравенство

и теорема доказана.

Функцию мы будем называть элементарной функцией от переменных если она может быть получена из этих переменных и констант с при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций где элементарные функции от одной переменной (см. § 1.3). Функции

могут служить примерами элементарных функций.

Легко проверить, пользуясь теоремами 1-3, что функции да и да непрерывны на плоскости функция же очевидно, определена и непрерывна в тех точках для которых дробь положительна и конечна.

Замечание. Систему функций

можно рассматривать как отображение

точек в точки

Приращению в точке х при помощи отображения А соответствует приращение Отображение А непрерывно в точке х, если

Это свойство, очевидно, эквивалентно непрерывности функций в рассматриваемой точке х.

Из теоремы 1 § 7.2 и определения непрерывности функции в точке непосредственно следует

Теорема 4. Функция непрерывная в точке и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки.

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна на (во всех точках ). Тогда множество точек где она удовлетворяет неравенству (или какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.

В самом деле, функция с непрерывна на есть множество всех точек х, где Пусть тогда существует шар

на котором т.е. он принадлежит и точка внутренняя для

Случай доказывается аналогично. Пример 1.

Эти три функции определены и непрерывны на Непрерывность вытекает из следующих выкладок:

В таком случае множества значений х, для которых выполняются равенства открытые множества. Первое из них есть внутренность эллипсоида в -мерном пространстве; второе и третье при суть внутренности квадратов, изображенных соответственно на рис. 7.2 и 7.3.

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Эти три множества выпуклые, потому что из неравенств следует

Неравенства определяют внешности указанных фигур.